Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 37 стр.

чей. Но есть другой способ построения полинома N-й степени,
который не требует решения такой системы.
                                 3.4. Полином Лагранжа
                                                             N
      Решение ищем в виде L n (z ) = ∑ f i li (z ) , где li(z) – базисные
                                                            i =0
полиномы N-й степени, для которых выполняется условие:
            ⎧1, i = k
li ( xk ) = ⎨         . Убедимся в том, что если такие полиномы по-
            ⎩0, i ≠ k
строены, то LN(x) будет удовлетворять условиям интерполяции:
               N
L n (xi ) =   ∑ f k lk (xi ) = f0l0 (xi ) + f1l1 (xi ) + ... + fili (xi ) + ... + f N l N (xi ) = fi .
              k =0
Каким образом построить базисные полиномы? Определим
li ( z ) =
             (z − x0 )(z − x1 )...(z − xi-1 )(z − xi+1 )...(z − xN ) , i = 0, 1,..., N.
           (xi − x0 )(xi − x1 )...(xi − xi-1 )(xi − xi+1 )...(xi − xN )
Легко понять, что
l0 ( z ) =
             (z − x1 )(z − x2 )...(z − xN ) , l (z ) = (z − x0 )(z − x2 )...(z − xN ) ,
           (x0 − x1 )(x0 − x2 )...(x0 − xN ) 1            (x1 − x0 )(x1 − x2 )...(x1 − xN )
и т.д.
        Функция li(z) является полиномом N-й степени от z, и для
нее выполняются условия «базисности»:
            (x − x0 )(xk − x1 )...(xk − xi-1 )(xk − xi+1 )...(xk − xN ) = 0, i≠k;
li ( xk ) = k
            (xk − x0 )(xk − x1 )...(xk − xi-1 )(xk − xi+1 )...(xk − xN )
            (x − x0 )(xi − x1 )...(xi − xi-1 )(xi − xi+1 )...(xi − xN ) = 1 .
li ( xi ) = i
            (xi − x0 )(xi − x1 )...(xi − xi-1 )(xi − xi+1 )...(xi − xN )
        Таким образом, нам удалось решить задачу о построении
интерполирующего полинома N-й степени, и для этого не нужно
решать СЛАУ. Полином Лагранжа можно записать в компакт-
                                 N               N            ( z − xk )
ном виде: L N (z ) = ∑ fili (z ) = ∑ fi ∏                                 . Погрешность этой
                                i =0            i =0    i ≠ k ( xi − xk )
формулы можно оценить, если исходная функция g(x) имеет
производные до N+1 порядка:
                                                       39