Основы гидрофизики. Беховых Л.А - 69 стр.

времени. Для них закон Фурье справедлив, если рассматривать
его в каждый момент времени. Тепловой процесс, протекающий
во времени, можно описать дифференциальным уравнением.
Такое уравнение также получено Фурье. В основе этого уравне-
ния лежит закон сохранения энергии, который в рассматривае-
мом случае может быть сформулирован следующим образом:
количество теплоты, введенное в элементарный объем извне за
время dτ вследствие теплопроводности, равно изменению внут-
ренней энергии вещества, содержащегося в этом объеме. То
есть изменение температуры этого объема в трех направлениях
(соответственно, по осям x, y, z) за время dτ
                  ∂t/∂τ = a (∂2t/∂x2 + ∂2t/∂y2 + ∂2t/∂z2), (2.29)
где a = λ / (cρ) – коэффициент температуропроводности.
     Уравнение (2.29) носит название дифференциального урав-
нения теплопроводности в декартовых координатах (в частных
производных).
     Обозначив
                    ∂2t/∂x2 + ∂2t/∂y2 + ∂2t/∂z2 = ∇2t,     (2.30)
          ∂ 2
                ∂2
                      ∂2

где ∇2 = 2 + 2 + 2 – оператор Лапласа, получим:
         ∂x ∂y ∂z
                            ∂t/∂τ = a ∇2t.              (2.31)
     Уравнение (2.29) описывает нестационарное пространст-
венное температурное поле. Для нестационарного двухмерного
температурного поля оно имеет вид
                    ∂t/∂τ = a (∂2t/∂x2 + ∂2t/∂y2),      (2.32)
а для нестационарного одномерного –
                           ∂t/∂τ = a ∂2t/∂x2.           (2.33)
     Если наблюдается температурное поле с постоянной темпе-
ратурой, т.е. ∂t/∂τ = 0, то дифференциальное уравнение тепло-
проводности (2.29) принимает вид уравнения Лапласа:
                  ∂2t/∂x2 + ∂2t/∂y2 + ∂2t/∂z2 = 0.      (2.34)
     Соответственно, для двухмерного температурного поля
                       ∂2t/∂x2 + ∂2t/∂y2 = 0,           (2.35)
для одномерного –
                            ∂2t/∂x2 = 0.                (2.36)

                               69