Основы гидрофизики. Беховых Л.А - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГАУ | Барнаул

Составители: 

Рубрика: 

86
Располагая величинами
)sin(),cos(, XqXqXq
iii
nnn
(табл. 3.1),
находим искомый ряд значений по формуле
()
()
()
()
() ()()
,
cossin
sin2
cos
cos
2
XqXqXq
Xq
dxxq
dxxqxF
D
iii
i
i
i
nnn
n
X
X
n
X
X
n
i
+
==
∫
∫
+
−
+
−
(3.43)
т.е.
Д
1
= 1,250; Д
2
= -0,373; Д
3
= 0,188; Д
4
= -0,109; Д
5
= 0,072.
Начальное распределение температуры в рассматриваемой
стенке приобретет следующий вид:
(
)
(
)
(
)
() () ()
...7,32cos072,01,25cos109,07,17cos188,0
4,10cos373,045,3cos250,1
0τ
−+−+
+
−
=
=
=
xxx
xxxFt
(3.44)
Чтобы получить расчетное распределение температуры че-
рез 5 ч после начального момента, необходимо определить ряд
значений
(
)
τ− aqD
i
ni
2
exp
через каждый час. Эти расчеты выпол-
нены в таблице 3.2.
Таблица 3.2
Значения функций, входящих в формулу (3.42)
I
1 2 3 4 5
A = (q
ni
X)
2
(aτ/X
2
) 0,065 0,601 1,723 3,458 5,881
e
-A
0,94 0,55 0,18 0,03 0,00
D
i
e
-A
1,175 -0,203 0,033 -0,003 0,000
Окончательное выражение для распределения температуры
в толще стенки через 5 ч после начального момента:
(
)
(
)
() ()
.1,25cos003,07,17cos033,0
4,10cos203,045,3cos175,1
5τ
xx
xxt
−+
+
−
=
=
(3.45)
При решении практических задач обычно нет необходимо-
сти определять температуру во всех точках стенки. Можно ог-
раничиться расчетом температуры лишь для какой-либо одной
точки, например, для точки в середине стенки. В этом случае
объем вычислений по формуле (3.42) значительно сократится.
Если начальная температура в рассмотренном выше случае
равна не 1°С, а
Т
с
, то уравнение (3.39) примет вид
()() ()()
.cosexpsinexp
2
1
2
1
c
τ−+τ−
=
∑∑
∞
=
∞
=
xqaqDxqaqCTt
iiii
nn
i
imm
i
i
(3.46) 
    Располагая величинами qn X , cos( qn X ), sin( qn X ) (табл. 3.1),
                                               i            i                      i

находим искомый ряд значений по формуле
           +X

           ∫ F (x )cos(q x )dxni
                                                                (
                                                         2 sin qn X          )
    Di =   −X
                                       =
                                               (q X ) + sin (q X )cos(q X ) ,                    (3.43)
                                                                     i
                +X

                ∫ cos (q x )dx
                     2                             ni           ni                     ni
                         ni
                −X
т.е. Д1 = 1,250; Д2 = -0,373; Д3 = 0,188; Д4 = -0,109; Д5 = 0,072.
     Начальное распределение температуры в рассматриваемой
стенке приобретет следующий вид:
         tτ = 0 = F ( x ) = 1,250 cos(3,45 x ) − 0,373 cos(10,4 x ) +
                                                                          (3.44)
   + 0,188 cos(17,7 x ) − 0,109 cos(25,1x ) + 0,072 cos(32,7 x ) − ...
     Чтобы получить расчетное распределение температуры че-
рез 5 ч после начального момента, необходимо определить ряд
                     (             )
значений Di exp − qn aτ через каждый час. Эти расчеты выпол-
                             2
                              i

нены в таблице 3.2.
                                                                     Таблица 3.2
         Значения функций, входящих в формулу (3.42)
         I                      1                 2          3                      4             5
A = (qniX)2 (aτ/X2)           0,065             0,601      1,723                  3,458         5,881
e-A                           0,94              0,55       0,18                   0,03          0,00
Di e-A                        1,175            -0,203      0,033                 -0,003         0,000
     Окончательное выражение для распределения температуры
в толще стенки через 5 ч после начального момента:
              t τ = 5 = 1,175 cos(3,45 x ) − 0,203 cos(10,4 x ) +
                                                                       (3.45)
                     + 0,033 cos(17,7 x ) − 0,003 cos(25,1x ).
     При решении практических задач обычно нет необходимо-
сти определять температуру во всех точках стенки. Можно ог-
раничиться расчетом температуры лишь для какой-либо одной
точки, например, для точки в середине стенки. В этом случае
объем вычислений по формуле (3.42) значительно сократится.
     Если начальная температура в рассмотренном выше случае
равна не 1°С, а Тс, то уравнение (3.39) примет вид
t = Tc ∑ Ci exp(− qm2 aτ)sin (qm x ) + ∑ Di exp(− qn2 aτ)cos(qn x ). (3.46)
       ∞                                   ∞
                                                                    
        i =1                                                       
                         i                 i                             i                  i
                                           i =1



                                                    86

Страницы