Основы гидрофизики. Беховых Л.А - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГАУ | Барнаул

Составители: 

Рубрика: 

84
В этом случае уравнение (3.29) переходит в
t = C exp (-q
2
aτ) exp (±iqx). (3.32)
Обращаясь к известной формуле Эйлера
exp (±
ix) = cos x±i sin x (3.33)
и пользуясь ею, преобразуем уравнение (3.32). Получим два
решения в комплексном виде:
(
)
()
(
)
[
]
()
() ()
[]
+τ−=+
+τ−=+
.sincosexp
,sincosexp
2
221
2
121
qxiqxaqCitt
qxiqxaqCitt
(3.34)
Суммируем левые и правые части уравнений (3.34), затем
отделяем действительные и мнимые части суммы и приравнива-
ем их. В результате получаем два решения:
(
)
[
]
(
)
(
)
()
[]
()
()
τ−−=
τ−+=
.sinexp2/
;cosexp2/
2
211
2
211
qxaqCCt
qxaqCCt
(3.35)
Введя обозначения
(
C
1
+ C
2
)/2 = D; (C
1
– C
2
)/2 = C, (3.36)
будем иметь два решения, удовлетворяющие дифференци-
альному уравнению теплопроводности (3.19):
t
1
= D exp (-q
2
aτ) cos (qx); t
2
= C exp (-q
2
aτ) sin (qx). (3.37)
Известно, что если искомая функция имеет два частных
решения, то и сумма этих частных решений будет удовлетво-
рять исходному дифференциальному уравнению (3.19), тогда
t = C exp (-q
2
aτ) sin (qx) + D exp (-q
2
aτ) cos (qx). (3.38)
Окончательно общее решение, удовлетворяющее этому
уравнению, можно записать в следующем виде:
()() ()()
.cosexpsinexp
2
1
2
1
xqaqDxqaqCt
iiii
nn
i
imm
i
i
τ−+τ−=
∑∑
∞
=
∞
=
(3.39)
Любые значения
q
m
, q
n
, C
i
, D
i
в уравнении (3.39) будут
удовлетворять уравнению (3.19). Конкретизация в выборе этих
значений будет определяться начальными и граничными усло-
виями каждой частной практической задачи, причем значения
q
m
и
q
n
находятся из граничных условий, а C
i
, и D
i
, – из начальных.
Помимо общего решения уравнения теплопроводности
(3.39), в котором имеет место произведение двух функций, одна
из которых зависит от
x, а другая — от τ, существуют еще реше-
ния, в которых такое разделение невозможно, например
()()
[
]
,4/exp
4
1
2
τ−−
τπ
= axq
a
C
t
(3.40) 
    В этом случае уравнение (3.29) переходит в
                        t = C exp (-q2aτ) exp (±iqx).                     (3.32)
    Обращаясь к известной формуле Эйлера
                           exp (±ix) = cos x±i sin x                      (3.33)
    и пользуясь ею, преобразуем уравнение (3.32). Получим два
решения в комплексном виде:
            t1 + it 2 = C 1 exp (− q 2 a τ )[cos (qx ) + i sin (qx )], 
                                                                         (3.34)
            t1 + it 2 = C 2 exp (− q 2 a τ )[cos (qx ) + i sin (qx )].
    Суммируем левые и правые части уравнений (3.34), затем
отделяем действительные и мнимые части суммы и приравнива-
ем их. В результате получаем два решения:
                 t1 = [(C1 + C 2 ) / 2 ]exp (− q 2 a τ )cos (qx );
                                                                         (3.35)
                 t1 = [(C1 − C 2 ) / 2 ]exp (− q 2 a τ )sin (qx ). 
    Введя обозначения
                    (C1 + C2)/2 = D; (C1 – C2)/2 = C,                     (3.36)
    будем иметь два решения, удовлетворяющие дифференци-
альному уравнению теплопроводности (3.19):
      t1 = D exp (-q2aτ) cos (qx); t2 = C exp (-q2aτ) sin (qx). (3.37)
    Известно, что если искомая функция имеет два частных
решения, то и сумма этих частных решений будет удовлетво-
рять исходному дифференциальному уравнению (3.19), тогда
         t = C exp (-q2aτ) sin (qx) + D exp (-q2aτ) cos (qx).             (3.38)
    Окончательно общее решение, удовлетворяющее этому
уравнению, можно записать в следующем виде:
                (         ) (        )            (             ) ( )
      ∞                                      ∞
 t = ∑ Ci exp − qm2 aτ sin q m x + ∑ Di exp − q n2 aτ cos q n x . (3.39)
                      i          i                      i          i
      i =1                                i =1
     Любые значения qm, qn, Ci, Di в уравнении (3.39) будут
удовлетворять уравнению (3.19). Конкретизация в выборе этих
значений будет определяться начальными и граничными усло-
виями каждой частной практической задачи, причем значения qm
и qn находятся из граничных условий, а Ci, и Di, – из начальных.
     Помимо общего решения уравнения теплопроводности
(3.39), в котором имеет место произведение двух функций, одна
из которых зависит от x, а другая — от τ, существуют еще реше-
ния, в которых такое разделение невозможно, например
                t=
                     1 C
                      π 4 aτ
                                         [
                             exp − (q − x ) / (4aτ ) ,
                                           2
                                                            ](3.40)


                                         84

Страницы