Основы гидрофизики. Беховых Л.А - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АГАУ | Барнаул

Составители: 

Рубрика: 

83
Легко проверить, что частным решением этого уравнения
будет выражение
t = C exp (αx + βτ). (3.21)
Действительно:
∂
t/∂x = αС ехр (αx + βτ); ∂t/∂τ = βС ехр (αx + βτ);
∂
2
t/∂x
2
= α
2
С ехр (αx + βτ);
∂
2
t/∂τ
2
= β
2
С ехр (αx + βτ); ∂
2
t/(∂x ∂τ) = αβС ехр (αx + βτ). (3.22)
Совместное решение последних семи уравнении дает
a
1
α
2
+ b
1
αβ + c
1
β
2
+ d
1
α + l
1
β + f
1
= 0. (3.23)
Полученное уравнение называется
уравнением коэффициентов.
Переходя к уравнению (3.19) и сопоставляя его с (3.20), за-
ключаем, что
b
1
= c
1
= d
1
= f
1
= 0; a
1
= -a; l
1
= 1. (3.24)
Уравнение коэффициентов (3.23) для частного случая (3.19)
приобретает вид
-α
2
a + β = 0 (3.26)
или
β = α
2
a. (3.27)
Таким образом, частное решение (3.21) является интегра-
лом дифференциального уравнения (3.19) и с учетом (3.27) вы-
ражается как
t = C exp (α
2
aτ + αx). (3.28)
В этом уравнении можно задавать любые значения чисел
для
C, α, a.
Выражение (3.28) может быть представлено в виде произ-
ведения
t = C exp (α
2
aτ) exp (αx), (3.29)
где exp (α
2
aτ) – функция только времени τ;
exp (α
x) – только расстояния x:
exp (α
2
aτ) = f (τ); exp (αx) = φ (x). (3.30)
С увеличением времени τ температура во всех точках не-
прерывно растет и может стать выше заданной, что в практиче-
ских задачах не встречается. Поэтому обычно берут только та-
кие значения α, при которых α
2
отрицательно, что возможно при
чисто мнимой величине.
Примем
α = ±
iq, (3.31)
где
q – произвольное действительное число (ранее значком q обо-
значали удельный тепловой поток);
.1−=i
      Легко проверить, что частным решением этого уравнения
будет выражение
                            t = C exp (αx + βτ).               (3.21)
      Действительно:
          ∂t/∂x = αС ехр (αx + βτ); ∂t/∂τ = βС ехр (αx + βτ);
                       ∂2t/∂x2 = α2С ехр (αx + βτ);
  ∂ t/∂τ = β С ехр (αx + βτ); ∂2t/(∂x ∂τ) = αβС ехр (αx + βτ). (3.22)
   2    2     2

      Совместное решение последних семи уравнении дает
                a1α2 + b1αβ + c1β2 + d1α + l1β + f1 = 0.       (3.23)
      Полученное уравнение называется уравнением коэффициентов.
      Переходя к уравнению (3.19) и сопоставляя его с (3.20), за-
ключаем, что
                  b1 = c1 = d1 = f1 = 0; a1= -a; l1 = 1.       (3.24)
      Уравнение коэффициентов (3.23) для частного случая (3.19)
приобретает вид
                                -α2a + β = 0                   (3.26)
или
                                  β = α 2a.                    (3.27)
      Таким образом, частное решение (3.21) является интегра-
лом дифференциального уравнения (3.19) и с учетом (3.27) вы-
ражается как
                         t = C exp (α2aτ + αx).                (3.28)
      В этом уравнении можно задавать любые значения чисел
для C, α, a.
      Выражение (3.28) может быть представлено в виде произ-
ведения
                      t = C exp (α2aτ) exp (αx),               (3.29)
           2
где exp (α aτ) – функция только времени τ;
     exp (αx) – только расстояния x:
                  exp (α2aτ) = f (τ); exp (αx) = φ (x).        (3.30)
      С увеличением времени τ температура во всех точках не-
прерывно растет и может стать выше заданной, что в практиче-
ских задачах не встречается. Поэтому обычно берут только та-
кие значения α, при которых α2 отрицательно, что возможно при
чисто мнимой величине.
      Примем
                                  α = ±iq,                     (3.31)
где q – произвольное действительное число (ранее значком q обо-
         значали удельный тепловой поток);
     i = − 1.

                                 83

Страницы