Методы оптимизации. Часть 2. Белоусова Е.П - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Рассмотрим функцию n переменных )x,...,x(f
n1
, заданную на некотором
множестве пространства
n
R
. Известно , что если
)
x
(
f
дифференцируема в
точке )x,...,x(M
n1
, то в этой точке существуют частные производные
n,...,1i,
x
)x,...,x(f
i
n1
=
∂
∂
и наоборот, если фукнция )x,...,x(f
n1
имеет частные производные по всем
аргументам в некоторой окрестности точки )x,...,x,x(M
0
n
0
2
0
10
, причем все эти
частные производные непрерывны в самой точке
0
M , то указанная функция
дифференцируема в точке
0
M .
Говорят , что функция
)
x
(
f
имеет в точке
0
M
локальный максимум (
локальный минимум), если найдется такая
δ
-окрестность точки
0
M , в пределах
которой значение
)M(f
0
является наибольшим (наименьшим) среди всех
значений
)
x
(
f
этой функции.
Если функция )x,...,x(f
n1
обладает в точке )x,...,x,x(M
0
n
0
2
0
10
частными
производными первого порядка по всем переменным
n1
x,...,x и имеет в этой
точке локальный экстремум, то все частные производные первого порядка
обращаются в точке
0
M в нуль, т .е.
.0)M(
x
f
,...,0)M(
x
f
,0)M(
x
f
0
n
0
2
0
1
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
Точки , в которых обращаются в нуль все частные производные первого
порядка функции
)
x
(
f
, называются стационарными точками этой функции.
МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ N ПЕРЕМЕННЫХ
В ЗАДАЧЕ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЙ.
КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД
Пусть есть задача
inf,
)
u
(
I
→
(1)
R
u
n
∈
(2)
Пусть
*
u
является точкой локального минимума функции
R
R
:
I
n
→
и функция
)
u
(
I
является дифференцируемой в этой точке , т .е. существует )(
*
uI
′
, тогда
0)u(I
*
=
, где 0 – нулевой вектор из
n
R
.
Для формулировки достаточного условия безусловного экстремума
введем понятие второй производной функции n переменных. Пусть есть точка
0
u из пространства
n
R
. Зададим некоторое приращение h. Тогда, если
приращение значений функции можно записать в виде 
                                              4

                        ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

      Рассмотрим функцию n переменных f ( x 1 ,..., x n ) , заданную на некотором
множестве пространства R n . Известно, что если f ( x ) дифференцируема в
точке M ( x1 ,..., x n ) , то в этой точке существуют частные производные
                                       ∂f ( x 1 ,..., x n )
                                                            , i =1,..., n
                                             ∂x i
и наоборот, если фукнция f ( x1 ,..., x n ) имеет частные производные по всем
аргументам в некоторой окрестности точки M 0 ( x10 , x 02 ,..., x 0n ) , причем все эти
частные производные непрерывны в самой точке M 0 , то указанная функция
дифференцируема в точке M 0 .
     Говорят, что функция f ( x ) имеет в точке M 0 локальный максимум (
локальный минимум), если найдется такая δ-окрестность точки M 0 , в пределах
которой значение f ( M 0 ) является наибольшим (наименьшим) среди всех
значений f ( x ) этой функции.
     Если функция f ( x 1 ,..., x n ) обладает в точке M 0 ( x10 , x 02 ,..., x 0n ) частными
производными первого порядка по всем переменным x1 ,..., x n и имеет в этой
точке локальный экстремум, то все частные производные первого порядка
обращаются в точке M 0 в нуль, т.е.
                     ∂f                 ∂f                  ∂f
                           ( M 0 ) =0,      (M 0 ) =0,...,      ( M 0 ) =0.
                     ∂x 1              ∂x 2                ∂x n
     Точки, в которых обращаются в нуль все частные производные первого
порядка функции f ( x ) , называются стационарными точками этой функции.

                 МИНИМИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ N ПЕРЕМЕННЫХ
                     В ЗАДАЧЕ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЙ.
                        КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД

      Пусть есть задача
                                   I(u ) → inf,                                          (1)
                              u ∈R .      n
                                                                               (2)
Пусть u * является точкой локального минимума функции I : R → R и функция
                                                            n

I(u ) является дифференцируемой в этой точке, т.е. существует I ′(u* ) , тогда
I′( u * ) =0 , где 0 – нулевой вектор из R n .
          Для формулировки достаточного условия безусловного экстремума
введем понятие второй производной функции n переменных. Пусть есть точка
u 0 из пространства R n . Зададим некоторое приращение h. Тогда, если
приращение значений функции можно записать в виде

Страницы