ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
6
Из системы уравнений
=++−
=−−
02u4u2
02uu2
21
21
найдем стационарную точку . Она будет иметь вид ).0,1(u
*
=
Составим матрицу
из вторых производных:
,2
u
)u(I
2
1
2
=
∂
∂
,1
uu
)u(I
21
2
−=
∂∂
∂
,1
uu
)u(I
12
2
−=
∂∂
∂
.2
u
)u(I
2
2
2
=
∂
∂
По критерию Сильвестра она будет положительно определена, так как
последовательные главные миноры этой матрицы соответственно равны
.3,2
21
=
∆
=
∆
Таким образом, точка
*
u является точкой минимума функции
)
u
(
I
и значение в
этой точке равно
.
1
)
u
(
I
−
=
Остается проверить, какой минимум реализует
точка
*
u - локальный или глобальный. Для этого рассмотрим произвольное
приращение в точке
*
u
, т .е. введем в рассмотрение новую точку u по правилу
)h,h1()hu,hu(u
212
*
1
*
+=++=
и посчитаем в ней значение целевой функции
,)u(I))
h
h
(
h
h
1(h1
hhhh1h)h1(2hh)h1()h1()u(I
*
2
1
2
1
2
2
1
2
221
2
121
2
221
2
1
Ω+=+−+−
=+−+−=++−++−+=
где
Ω
- некоторая положительная величина. Отсюда следует , что
*
u - это точка
глобального минимума.
Пример 2. Минимизировать функцию
.infu6u4uu)u(I
21
2
2
2
1
→+−−=
Посчитаем частные производные первого порядка и приравняем их к нулю
.06u2
u
)u(I
,04u2
u
)u(I
2
2
1
1
=+−=
∂
∂
=−=
∂
∂
Стационарная точка имеет вид .3u,2u
21
=
=
Значение функции в этой точке
равно
.5)u(I
*
=
Вычислим значения вторых производных функции
)
u
(
I
в точке
подозрительной на экстремум. Получаем
.2
)u(I
,0
uu
)u(I
uu
)u(I
,2
u
)u(I
2
2
2
12
2
21
2
2
1
2
−=
∂
∂
=
∂∂
∂
=
∂∂
∂
=
∂
∂
Главный минор второго порядка .4
2
−
=
∆
Отсюда следует , что точка )3,2(u
*
=
не является точкой минимума. Подтвердим это. Введем в рассмотрение другую
точку
)h3,h2(u
21
+
+
=
и посчитаем в ней значение минимизируемой функции.
Оно равно
.5hh)h3(6)h2(4)h3()h2()u(I
2
2
2
121
2
2
2
1
+−=+++−+−+=
6
Из системы уравнений
� 2u1 −u 2 −2 =0
�
� −2u1 +4u 2 +2 =0
найдем стационарную точку. Она будет иметь вид u * =(1,0). Составим матрицу
из вторых производных:
∂ 2 I( u ) ∂ 2 I( u ) ∂ 2 I( u ) ∂ 2 I( u )
=2, =−1, =−1, =2.
∂u12 ∂u1∂u 2 ∂u 2 ∂u1 ∂u 22
По критерию Сильвестра она будет положительно определена, так как
последовательные главные миноры этой матрицы соответственно равны
∆1 =2, ∆2 =3.
Таким образом, точка u * является точкой минимума функции I(u ) и значение в
этой точке равно I(u ) =−1. Остается проверить, какой минимум реализует
точка u * - локальный или глобальный. Для этого рассмотрим произвольное
приращение в точке u * , т.е. введем в рассмотрение новую точку u по правилу
u =(u * +h 1 , u * +h 2 ) =(1 +h 1 , h 2 )
и посчитаем в ней значение целевой функции
I(u ) =(1 +h1 ) 2 −(1 +h1 )h 2 +h 22 −2(1 +h1 ) +h 2 =−1 +h12 −h1h 2 +h 22 =
h2 h
−1 +h12 (1 − +( 2 ) 2 ) =I( u * ) +Ω,
h1 h1
где Ω - некоторая положительная величина. Отсюда следует, что u * - это точка
глобального минимума.
Пример 2. Минимизировать функцию
I(u ) =u 12 −u 22 −4u 1 +6u 2 → inf .
Посчитаем частные производные первого порядка и приравняем их к нулю
∂I(u ) ∂I(u )
=2u 1 −4 =0, =−2u 2 +6 =0.
∂u 1 ∂u 2
Стационарная точка имеет вид u 1 =2, u 2 =3. Значение функции в этой точке
равно I(u * ) =5. Вычислим значения вторых производных функции I(u ) в точке
подозрительной на экстремум. Получаем
∂ 2 I( u ) ∂ 2 I( u ) ∂ 2 I ( u ) ∂ 2 I( u )
= 2, = =0, =−2.
∂u12 ∂u1∂u 2 ∂u 2 ∂u1 ∂ 22
Главный минор второго порядка ∆2 =−4. Отсюда следует, что точка u * =( 2,3)
не является точкой минимума. Подтвердим это. Введем в рассмотрение другую
точку u =(2 +h 1 ,3 +h 2 ) и посчитаем в ней значение минимизируемой функции.
Оно равно
I( u ) =( 2 +h1 ) 2 −(3 +h 2 ) 2 −4( 2 +h1 ) +6(3 +h 2 ) =h12 −h 22 +5.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
