Методы оптимизации. Часть 2. Белоусова Е.П - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
Положим
12
h2h
=
. Тогда )u(I5h3)u(I
*2
1
<+−= . Если
2
h
h
1
2
= , то
)u(I5h
4
3
5h)
4
1
1()u(I
*2
1
2
1
>+=+−=
. Отсюда следует , что
*
u
- не является
точкой локального минимума.
Пример 3. Минимизировать функцию
.inf)uu(uu)u(I
2
21
4
2
4
1
→+−+=
Посчитаем частные производные целевой функции и приравняем их к нулю.
Получим
.0)uu(2u4
u
)u(I
,0)uu(2u4
u
)u(I
21
3
2
2
21
3
1
1
=+−=
∂
∂
=+−=
∂
∂
Найдем отсюда критические точки . Их будет три и они имеют следующий вид:
).1,1(u),1,1(u),0,0(u
321
−
−
=
=
=
Вычислим в этих точках вторые частные производные и составим в каждой из
них матрицу Якоби:
.2u12
u
)u(I
;2
uu
)u(I
uu
)u(I
;2u12
u
)u(I
2
2
2
2
2
12
2
21
2
2
1
2
1
2
−=
∂
∂
−=
∂∂
∂
=
∂∂
∂
−=
∂
∂
Посчитаем значение матрицы Якоби в каждой из найденных точек. Они
соответственно равны
−−
−
−
=
22
22
A
)0,0(
,
у которой первый главный минор отрицательный и равный -2, а второй главный
минор – нулевой. Рассмотрим поведение целевой функции в окрестности точки
(0,0). Возьмем две другие точки
)
h
,
h
(
u
−
=
,
)
h
,
h
(
u
~
=
и посчитаем в них
значения функции. Они равны
0)2h(h2h4h2)u
~
(I,0h2)u(I
22244
<−=−=≥=
.
Отсюда следует , что точка (0,0) не является точкой экстремума. Матрица Якоби
в точке (1,1) имеет вид
−−
−
=
102
210
A
)1,1(
.
Оба последовательных главных минора положительны. Следовательно ,
исследуемая точка является точкой экстремума. Вычислим матрицу Якоби в
последней точке . Она равна
−
−
=
−−
102
210
A
)1,1(
.
Очевидно , что точки (1,1) и (-1,-1) являются точками локального минимума.
Посчитаем в них значение целевой функции. Оно равно
.2)2(11)u(I
2
*
−=−+= 
                                                    7

                                                                                            h
Положим         h 2 =2h 1 .    Тогда      I( u ) =−3h 12 +5 I(u * ) . Отсюда следует, что u * - не является
            4          4
точкой локального минимума.

       Пример 3. Минимизировать функцию
                                 I(u ) =u 14 +u 42 −( u1 +u 2 ) 2 → inf .
Посчитаем частные производные целевой функции и приравняем их к нулю.
Получим
                  ∂I(u )                                        ∂I(u )
                             =4u 13 −2( u 1 +u 2 ) =0,                      =4u 32 −2(u 1 +u 2 ) =0.
                    ∂u 1                                         ∂u 2
Найдем отсюда критические точки. Их будет три и они имеют следующий вид:
                               u 1 =(0,0), u 2 =(1,1), u 3 =( −1,−1).
Вычислим в этих точках вторые частные производные и составим в каждой из
них матрицу Якоби:
                  ∂ 2 I( u )                    ∂ 2 I ( u ) ∂ 2 I( u )              ∂ 2 I( u )
                             =  12 u 2
                                     1 −   2 ;                =              = −2 ;            =12u 22 −2.
                   ∂u1  2
                                               ∂u1∂u 2 ∂u 2 ∂u1                      ∂u 2 2

Посчитаем значение матрицы Якоби в каждой из найденных точек. Они
соответственно равны
                                                    � −2 −2 �
                                       A ( 0, 0) =��              �� ,
                                                     � −2 −2 �
у которой первый главный минор отрицательный и равный -2, а второй главный
минор – нулевой. Рассмотрим поведение целевой функции в окрестности точки
(0,0). Возьмем две другие точки u =(h ,−h ) , ~                         u =(h , h ) и посчитаем в них
значения функции. Они равны
                          I( u ) =2h 4 ≥0, I( ~     u ) =2h 4 −4h 2 =2h 2 (h 2 −2) <0 .
Отсюда следует, что точка (0,0) не является точкой экстремума. Матрица Якоби
в точке (1,1) имеет вид
                                                      � 10 −2 �
                                       A (1,1) =��                   �� .
                                                       � −2 −10 �
Оба последовательных главных минора положительны. Следовательно,
исследуемая точка является точкой экстремума. Вычислим матрицу Якоби в
последней точке. Она равна
                                                           � 10 −2 �
                                        A ( −1, −1) =��                   �� .
                                                            � −2 10 �
Очевидно, что точки (1,1) и (-1,-1) являются точками локального минимума.
Посчитаем в них значение целевой функции. Оно равно
                                          I(u * ) =1 +1 −(2 2 ) =−2.

Страницы