Методы оптимизации. Часть 2. Белоусова Е.П - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
.
0)u,,(
u
L
0)u,,(
u
L
0
0
=λλ
∂
∂
=λλ
∂
∂
(10)
3. Рассмотрев отдельно два случая: 1
*
0
=λ ( если задача на минимум),
1
*
0
−=λ ( если задача на максимум) и 0
*
0
=λ , найти все стационарные
точки задачи (6)-(8).
4. Проведя дополнительные исследования, установить, какие из
стационарных точек являются точками локального минимума и
локального максимума для задачи (6)-(8) или доказать, что решения нет .
Для задач с ограничениями типа равенств, можно не обращать внимание
на тип экстремума и , убедившись, что 0
0
≠
λ
, полагать
0
λ
равным любой
константе.
Пример 1. Минимизировать функцию
infu3u4)u(I
21
→
+
=
при ограничении
.1uu
2
2
2
1
=+
Составим функцию Лагранжа. В данном случае она имеет вид
)1uu()u3u4()u,u,,(L
2
2
2
112102110
−+λ++λ=λλ .
Посчитаем частные производные от этой функции по соответствующим
переменным:
.u23
u
L
;u24
u
L
210
2
110
1
λ+λ=
∂
∂
λ+λ=
∂
∂
Составим систему вида (10), приписав в нее ограничение из условия задачи
=+
=λ+λ
=
λ
+
λ
.1uu
0u23
0u24
2
2
2
1
210
110
Предположим сначала, что
.0
0
=
λ
Из системы сразу следует , что
0
1
=
λ
. Это
нас не устраивает . Поэтому будем считать, что 1
0
=
λ
. Тогда система
приобретает вид
=+
=λ+
=
λ
+
1uu
0u23
0u24
2
2
2
1
21
11
. 
                                          9



                          � ∂L
                           � ∂u (λ0 , λ, u ) =0
                            � ∂L                   .          (10)
                             �      (λ0 , λ, u ) =0
                               � ∂u
 3. Рассмотрев отдельно два случая: λ*0 =1 (если задача на минимум),
    λ*0 =−1(если задача на максимум) и λ*0 =0 , найти все стационарные
    точки задачи (6)-(8).
 4. Проведя дополнительные исследования, установить, какие из
    стационарных точек являются точками локального минимума и
    локального максимума для задачи (6)-(8) или доказать, что решения нет.

     Для задач с ограничениями типа равенств, можно не обращать внимание
     на тип экстремума и, убедившись, что λ0 ≠0 , полагать λ 0 равным любой
     константе.

        Пример 1. Минимизировать функцию
                                       I(u ) =4u 1 +3u 2 → inf
при ограничении
                                                            u 12 +u 22 =1.
Составим функцию Лагранжа. В данном случае она имеет вид
             L(λ 0 , λ1 , u1 , u 2 ) =λ 0 (4u1 +3u 2 ) +λ1 ( u12 +u 22 −1) .
Посчитаем частные производные от этой функции по соответствующим
переменным:
                                   ∂L                                 ∂L
                                       =4λ0 +2λ1u 1 ;                     =3λ0 +2λ1u 2 .
                                  ∂u 1                               ∂u 2
Составим систему вида (10), приписав в нее ограничение из условия задачи
                                              � 4λ0 +2λ1u1 =0
                                               �
                                                 � 3λ0 +2λ1u 2 =0
                                                  � u 2 +u 2 =1.
                                                   �             1      2
Предположим сначала, что λ 0 =0. Из системы сразу следует, что λ1 =0 . Это
нас не устраивает. Поэтому будем считать, что λ0 =1 . Тогда система
приобретает вид
                                                     � 4 +2λ1u1 =0
                                                      �
                                                        � 3 +2λ1u 2 =0 .
                                                         � u 2 +u 2 =1
                                                          � 1         2

Страницы