Методы оптимизации. Часть 2. Белоусова Е.П - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
=+
=λ+
=
λ
+
1u4u3
04u2
03u2
21
12
11
.
Отсюда легко посчитать, что
.1
2
16
2
9
,2u,
2
3
u
111211
=λ−λ−λ−=λ−=
Поэтому
25
4
u,
25
3
u,
25
2
211
==−=λ и оптимальная точка имеет вид
)
25
4
,
25
3
(u
*
= и значение функции в ней равно .
25
1
)u(I
*
= Покажем , что
эта точка является точкой минимума. Для этого составим приращение
),h
25
4
,h
25
3
(u
21
++= удовлетворяющую ограничению
.1)h
25
4
(4)h
25
3
(3
21
=+++ Отсюда очевидно , что 0h4h3
21
=
+
и
.h
4
3
h
12
−= Посчитаем значение функции
).u(Ih
16
25
125
1
)h
4
3
25
4
()h
25
3
()h
25
4
()h
25
3
()u(I
*2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
>+=−++=+++=
Пример 3. Минимизировать функцию
infe)u(I
21
uu
→=
при ограничении
.1uu
21
=
+
Составим функцию Лагранжа
).1uu(e)u,u,,(L
211
uu
02110
21
−+λ+λ=λλ
Частные производные имеют вид
.11
uu
0
2
12
uu
0
1
ue
u
L
;ue
u
L
2121
λ+λ=
∂
∂
λ+λ=
∂
∂
Выпишем соответствующую систему уравнений для определения
параметров и оптимальной точки :
=+
=λ+λ
=λ+λ
0uu
0ue
0ue
22
11
uu
0
12
uu
0
21
21
.
Рассмотрим случай, когда 0
0
=
λ
. Тогда и
0
1
=
λ
. Нас это не устраивает .
Пусть 1
0
=
λ
. Получаем следующую систему: 
                                     11

                          � 2u1 +3λ1 =0
                           �
                             � 2u 2 +4λ1 =0 .
                              � 3u +4u =1
                               �    1    2
                                           3        9     16
 Отсюда легко посчитать, что u1 =− λ1 , u 2 =−2λ1 ,− λ1 − λ1 =1.
                                           2        2      2
                   2             3       4
 Поэтому λ1 =− , u1 = , u 2 = и оптимальная точка имеет вид
                   25            25     25
         3 4                                          1
 u * =( , ) и значение функции в ней равно I(u * ) = . Покажем, что
        25 25                                         25
 эта точка является точкой минимума. Для этого составим приращение
        3     4
 u =( +h1 , +h 2 ), удовлетворяющую ограничению
       25     25
     3           4
 3( +h1 ) +4( +h 2 ) =1. Отсюда очевидно, что 3h1 +4h 2 =0 и
    25          25
          3
 h 2 =− h1. Посчитаем значение функции
          4
           3          4               3       4 3         1   25
 I(u ) =( +h1 ) 2 +( +h 2 ) 2 =( +h1 ) 2 +( − h1 ) 2 =       + h 12 >I(u * ).
          25         25               25      25 4       125 16

     Пример 3. Минимизировать функцию
                                   I(u ) =e u1u 2 → inf
 при ограничении
                                       u1 +u 2 =1.
 Составим функцию Лагранжа
                 L(λ 0 , λ1 , u1 , u 2 ) =λ 0 e u1u 2 +λ1 (u1 +u 2 −1).
 Частные производные имеют вид
                 ∂L                               ∂L
                      =λ 0 e u1u 2 u 2 +λ1 ;          =λ0 e u1u 2 u1 +λ1.
                 ∂u 1                            ∂u 2
 Выпишем соответствующую систему уравнений для определения
 параметров и оптимальной точки:
                           � λ 0 e u1u 2 u 2 +λ1 =0
                            �
                              � λ 0 e 1 2 u 1 +λ1 =0 .
                                     uu

                               �     u 2 +u 2 =0
                                 �
Рассмотрим случай, когда λ0 =0 . Тогда и λ1 =0 . Нас это не устраивает.
Пусть λ0 =1 . Получаем следующую систему:

Страницы