Методы оптимизации. Часть 2. Белоусова Е.П - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
Отсюда
1
1
2
u
λ
−=
,
1
2
2
3
u
λ
−=
. Подставляя их в третье уравнение системы,
находим множитель Лагранжа из уравнения .1
4
94
2
1
2
1
=
λ
+
λ
Он принимает
два значения
2
5
1
±=λ
. Если
2
5
1
−=λ
, то точка подозрительная на
экстремум имеет вид
5
3
u
ˆ
,
5
4
u
ˆ
*
2
*
1
== . Значение функции в этой точке равно
*
u
ˆ
(I )=5. Если
2
5
1
=λ , то
5
3
u
~
,
5
4
u
~
*
2
*
1
−=−= . Значение функции в этой точке
равно .5)u
~
(I
*
−= Рассмотрим поведение функции I(u) вблизи точки
.
u
ˆ
*
Пусть )h
5
3
,h
5
4
(u
21
++= принадлежит множеству U. Подставим ее в наше
ограничение .1)h
5
3
()h
5
4
(
2
2
2
1
=+++ Отсюда легко заметить, что
).hh(
2
5
)h3h4(
2
2
2
121
+−=+ Подставим точку u в целевую функцию.
Получим
).u
ˆ
(I)hh(
2
5
)u
ˆ
(Ih3h45)h
5
3
(3)h
5
4
(4)u(I
*2
2
2
1
*
2121
≤+−=++=+++=
Следовательно , точка
*
u
ˆ
доставляет наибольшее значение функции.
Пример 2. Минимизировать функцию
inf,uu)u(I
2
2
2
1
→+=
при ограничении
.1u4u3
21
=
+
Составим функцию Лагранжа для поставленной задачи . Она имеет вид
).1u4u3()uu()u,u,,(L
211
2
2
2
102110
−+λ++λ=λλ
Частные производные соответственно равны
.4u2
u
L
;3u2
u
L
120
2
110
1
λ+λ=
∂
∂
λ+λ=
∂
∂
Составим систему уравнений для нахождения стационарных точек и
параметров
=+
=λ+λ
=
λ
+
λ
1u4u3
04u2
03u2
21
120
110
.
Если 0
0
=
λ
, то очевидно что 0
1
=
λ
. Это решение нас не устраивает .
Поэтому будем полагать .1
0
=
λ
В этом случае система приобретает вид 
                                    10

                    2              3
Отсюда       u1 =− , u 2 =−          . Подставляя их в третье уравнение системы,
                   λ1            2λ1
                                                      4    9
находим множитель Лагранжа из уравнения 2 + 2 =1. Он принимает
                                                     λ1 4λ1
                           5                  5
два значения λ1 =± . Если λ1 =− , то точка подозрительная на
                           2                  2
                                 4       3
экстремум имеет вид û1* = , û *2 = . Значение функции в этой точке равно
                                 5       5
                        5              4 *     3
I(û * )=5. Если λ1 = , то ~    u1* =− , ~
                                         u 2 =− .Значение функции в этой точке
                        2              5       5
            ~
равно I( u ) =−5. Рассмотрим поведение функции I(u) вблизи точки û * .
              *

                4     3
Пусть u =( +h1 , +h 2 ) принадлежит множеству U. Подставим ее в наше
                5     5
                    4             3
ограничение ( +h1 ) 2 +( +h 2 ) 2 =1. Отсюда легко заметить, что
                    5             5
                  5
( 4h1 +3h 2 ) =− ( h 12 +h 22 ). Подставим точку u в целевую функцию.
                  2
Получим
               4          3                               5
   I(u ) =4( +h1 ) +3( +h 2 ) =5 +4h1 +3h 2 =I(û * ) − ( h12 +h 22 ) ≤I(û * ).
               5          5                               2
Следовательно, точка û доставляет наибольшее значение функции.
                             *



     Пример 2. Минимизировать функцию
                                 I(u ) =u 12 +u 22 → inf,
 при ограничении
                                          3u 1 +4u 2 =1.
 Составим функцию Лагранжа для поставленной задачи. Она имеет вид
          L(λ 0 , λ1 , u1 , u 2 ) =λ 0 ( u12 +u 22 ) +λ1 (3u1 +4u 2 −1).
 Частные производные соответственно равны
                  ∂L                            ∂L
                        =2λ0 u1 +3λ1 ;              =2λ0 u 2 +4λ1.
                 ∂u1                           ∂u 2
 Составим систему уравнений для нахождения стационарных точек и
 параметров
                                   � 2λ0 u1 +3λ1 =0
                                    �
                                      � 2λ0 u 2 +4λ1 =0 .
                                       � 3u +4u =1
                                        �   1       2
 Если λ0 =0 , то очевидно что λ1 =0 . Это решение нас не устраивает.
 Поэтому будем полагать λ 0 =1. В этом случае система приобретает вид

Страницы