Методы оптимизации. Часть 2. Белоусова Е.П - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
Задания для самостоятельной работы
Найти все значения параметра k, при которых точка (1,0) является точкой
экстремума для функции
212121
2
u
1
3
ubu2kcuu)bk)1ba(()u
a
3a
uln(akeuk)u(I
2
++−−++
−
+−=
при условиях: а) а=-2, b=2, с =8; б ) а=3/2, b=-1/2, c=-3/2.
ЗАДАЧА НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
Предположим, что поставлена задача об отыскании минимума функции
I(u) при условии, что u принимает значения в некотором множестве
n
R
U
⊂
,
т .е.
inf,
)
(
I
→
(6)
.
R
U
n
⊂
∈
(7)
Здесь множество U может задаваться различными способами . Например ,
{
}
,s,...,1i,0)u(g|RuU
i
n
==∈=
(8)
где .s,...,1i),u,...,u(g)u(g
n1ii
=
=
Для решения задачи (6)-(8) надо выписать функцию Лагранжа
).u(g)u(I)u,,...,,(L
i
s
1i
i0n10
∑
=
λ+λ=λλλ
(9)
Теорема: пусть
*
u - точка локального минимума в задаче (6)-(8) и в
окрестности этой точки функции I(u) и s,...,1i),u(g
i
=
являются непрерывно
дифференцируемыми , тогда имеют место следующие соотношения:
1) существует набор констант
*
s
*
1
*
0
,...,, λλλ таких, что
0||
s
0i
*
i
≠λ
∑
=
,
2)
0)u(g)u(I
*
i*
s
1i
i*
*
0
=λ
′
+
′
λ
∑
=
,
3) для того , чтобы 0
*
0
≠λ достаточно , чтобы векторы
)u(g),...,u(g),u(g
*
u
s*
u
2*
u
1
′
′
′
были линейно независимы.
СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ
ЭКСТРЕМУМ
1. По исходной задаче (6)-(8) необходимо выписать функцию Лагранжа.
2. Выписать систему уравнений. 
                                                               8

                                Задания для самостоятельной работы

      Найти все значения параметра k, при которых точка (1,0) является точкой
экстремума для функции
                                      a −3
     I(u ) =k 3 u1e u 2 −k 2 a ln(u1 +     u 2 ) +((a +b −1)k −b) u1 +kcu 2 +2bu1u 2
                                        a
при условиях: а) а=-2, b=2, с=8; б) а=3/2, b=-1/2, c=-3/2.

         ЗАДАЧА НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
                 НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
              МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА

      Предположим, что поставлена задача об отыскании минимума функции
I(u) при условии, что u принимает значения в некотором множестве U ⊂ R n ,
т.е.
                                 I(u ) → inf,                        (6)
                                                  u ∈U ⊂ R n .                                       (7)
Здесь множество U может задаваться различными способами. Например,
                                               {
                                        U = u ∈R n | g i (u ) =0, i =1,..., s ,  }                   (8)
где g i ( u ) =g i (u 1 ,..., u n ), i =1,..., s.
   Для решения задачи (6)-(8) надо выписать функцию Лагранжа
                                                                         s
                                  L(λ 0 , λ1 ,..., λ n , u ) =λ0 I(u ) +∑ λi g i (u ).               (9)
                                                                        i =1
      Теорема: пусть u * - точка локального минимума в задаче (6)-(8) и в
окрестности этой точки функции I(u) и g i ( u ), i =1,..., s являются непрерывно
дифференцируемыми, тогда имеют место следующие соотношения:
   1) существует набор констант λ*0 , λ*1 ,..., λ*s таких, что
                                                         s
                                                         ∑ | λi |≠0 ,
                                                                   *
                                                        i =0
                          s
   2)   λ*0 I′(u * )   +∑ g ′i ( u * )λ*i   =0 ,
                        i =1

   3)         для           того,            чтобы       λ*0 ≠0   достаточно,            чтобы   векторы
   g 1′ u (u * ), g ′2 u (u * ),..., g′s u ( u * ) были линейно независимы.

                 СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ
                            ЭКСТРЕМУМ

   1. По исходной задаче (6)-(8) необходимо выписать функцию Лагранжа.
   2. Выписать систему уравнений.

Страницы