Методы оптимизации. Часть 2. Белоусова Е.П - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
=+
=λ+
=λ+
0uu
0ue
0ue
22
11
uu
12
uu
21
21
;
=+
=λ+
=−
0uu
0ue
0)uu(e
22
11
uu
12
uu
21
21
;
==
=λ+
=
2/1uu
0ue
uu
21
11
uu
21
21
.
Откуда:
4/1
1
e2/1−=λ . Соответственно : )2/1,2/1(u =
∗
,
4/1
e)u(J =
∗
.
Возьмем произвольную точку )h2/1,h2/1(u
21
+
+
=
такую, что
1h2/1h2/1
21
=
+
+
+
, т .е. 0hh
21
=
+
или
12
hh
−
=
. Значит:
)h2/1,h2/1(u
11
−
+
=
. Вычислим значение целевой функции в этой точке .
)u(Jeee)u(J
4/1
h4/1)h2/1)(h2/1(
2
111
∗
−−+
=≤== . Получаем , что
∗
u
доставляет
целевой функции наибольшее значение.
Задания для самостоятельной работы
Минимизировать следующие функции:
1) infuu)u(J
2
2
2
1
→+= 2) infuuu)u(J
3
3
2
21
→=
1uu
4
2
4
1
=+ . 1uuu
321
=
+
+
.
3) infuuu)u(J
321
→
=
1uuu
2
3
2
2
2
1
=++ , 0uuu
321
=
+
+
.
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЛОКАЛЬНОГО МИНИМУМА В
ЗАДАЧАХ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ТИПА РАВЕНСТВ
Приведем достаточные условия локального условного минимума. Будем
предполагать, что векторы
)u(g),...,u(g),u(g
*
u
s*
u
2*
u
1
′
′
′
являются линейно
независимыми в точке
.u
*
Пусть
),,u(
**
0*
λλ
- решение системы
==
==
∂
∂
.s,...,1i,0)u(g
n,...,1j,0
u
L
i
j
(11) 
                                              12


               � e u1u 2 u 2 +λ1 =0 � e u1u 2 (u 2 −u 1 ) =0     �     u 1 =u 2
                � u1u 2              � uu                        �
                 � e u 1 +λ1 =0 ; � e 1 2 u 1 +λ1 =0 ;           � e u 1 +λ1 =0 .
                                                                     u1u 2

                  � u +u =0           �    u 2 +u 2 =0            � u =u =1 / 2
                   �   2      2         �                          � 1     2


Откуда: λ1 =−1 / 2e1 / 4 . Соответственно: u ∗ =(1 / 2,1 / 2) , J (u ∗) =e1 / 4 .
Возьмем        произвольную           точку        u =(1 / 2 +h 1 ,1 / 2 +h 2 )      такую,   что
1 / 2 +h 1 +1 / 2 +h 2 =1 ,    т.е.      h 1 +h 2 =0           или           h 2 =−h 1 .   Значит:
u =(1 / 2 +h 1 ,1 / 2 −h 1 ) . Вычислим значение целевой функции в этой точке.
                                2
J( u ) =e (1 / 2 +h1 )(1 / 2−h1 ) =e1 / 4−h1 ≤e1 / 4 =J (u ∗) . Получаем, что u ∗ доставляет
целевой функции наибольшее значение.


                      Задания для самостоятельной работы
   Минимизировать следующие функции:
1) J ( u ) =u 12 +u 22 → inf                       2) J ( u ) =u 1u 22 u 33 → inf

  u14 +u 42 =1 .                                       u 1 +u 2 +u 3 =1.


3) J( u ) =u 1u 2 u 3 → inf

   u 12 +u 22 +u 32 =1 , u 1 +u 2 +u 3 =0 .


        ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЛОКАЛЬНОГО МИНИМУМА В
            ЗАДАЧАХ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ТИПА РАВЕНСТВ

   Приведем достаточные условия локального условного минимума. Будем
предполагать, что векторы g1′ u (u * ), g′2 u (u * ),..., g ′s u (u * ) являются линейно
независимыми в точке u * . Пусть ( u * , λ*0 , λ* ) - решение системы
                            � ∂L
                             �              =0, j =1,..., n
                               � ∂u j                                                         (11)
                                �� g i ( u ) =0, i =1,..., s.

Страницы