Методы оптимизации. Часть 2. Белоусова Е.П - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
4. Матрица (размера (n-s)x(n-s))
,ggL)g(gL)g(gggLLD
u
1
vvv
1T
v
T
uvu
1T
v
T
uu
1
vuvuu
−−−−
+−−= (14)
вычисленная в точке ),,v,u(
**
0**
λλ положительно определенная.
Тогда точка )v,u(
**
является точкой локального минимума задачи (6)-
(8). Согласно критерию Сильвестра, симметрическая матрица является
положительно определенной тогда и только тогда, когда все
последовательные миноры на главной диагонали матрицы положительны.
НЕКОЛЬКО ПРИМЕРОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Минимизировать функцию
infuuu)u(J
321
→
=
при ограничениях
12uuuu2
3221
=
+
, 8uu2
21
=
−
.
1. Выпишем функцию Лагранжа
)8uu2()12uuuu2(uuu),,u(L
2123221132100
−
−
λ
+
−
+
λ
+
λ
=
λ
λ
.
2. Найдем частные производные функции Лагранжа
21210
3
23111310
2
221320
1
uuu
u
L
uu2uu
u
L
2u2uu
u
L
λ+λ=
∂
∂
λ−λ+λ+λ=
∂
∂
λ+λ+λ=
∂
∂
3. Решаем систему
=−
=+
=λ+λ
=λ−λ+λ+λ
=λ+λ+λ
8uu2
12uuuu2
0uuu
0uu2uu
02u2uu
21
3221
21210
23111310
221320
Рассмотрим случай 0
0
=
λ
. Система примет вид: 
                                            14
 4. Матрица (размера (n-s)x(n-s))
          D =L uu −L uv g −             T −1             T −1       −1
                          v g u −g u (g v ) L vu +g u (g v ) L vv g v g u ,
                           1       T                T
                                                                                        (14)
  вычисленная в точке ( u * , v * , λ*0 , λ* ) положительно определенная.
   Тогда точка ( u * , v * ) является точкой локального минимума задачи (6)-
(8). Согласно критерию Сильвестра, симметрическая матрица является
положительно определенной тогда и только тогда, когда все
последовательные миноры на главной диагонали матрицы положительны.

               НЕКОЛЬКО ПРИМЕРОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

        Пример 1. Минимизировать функцию
                         J ( u ) =u 1u 2 u 3 → inf
при ограничениях
                                  2u 1u 2 +u 2 u 3 =12 , 2u 1 −u 2 =8 .
1. Выпишем функцию Лагранжа
       L(u, λ 0 , λ) =λ 0 u 1u 2 u 3 +λ1 (2u 1u 2 +u 2 u 3 −12) +λ 2 (2u 1 −u 2 −8) .
2. Найдем частные производные функции Лагранжа
                              ∂L
                                 =λ 0 u 2 u 3 +2λ1u 2 +2λ 2
                             ∂u1
                          ∂L
                               =λ 0 u1u 3 +2λ1u1 +λ1u 3 −λ 2
                          ∂u 2
                                 ∂L
                                      =λ0 u1u 2 +λ1u 2
                                 ∂u 3
3. Решаем систему
                            �        λ 0 u 2 u 3 +2λ1u 2 +2λ 2 =0
                            �    λ 0 u1u 3 +2λ1u1 +λ1u 3 −λ 2 =0
                            ��
                            �              λ0 u1u 2 +λ1u 2 =0
                            �              2u1u 2 +u 2 u 3 =12
                            �
                            ��                  2u1 −u 2 =8
  Рассмотрим случай λ 0 =0 . Система примет вид:

Страницы