Методы оптимизации. Часть 2. Белоусова Е.П - 13 стр.

                                                                                   13

Вектор u разобьем на две части. Одна является (n-s) – мерным вектором. В
дальнейшем ее будем обозначать через u ∈R n−s , вторая является s-мерным
вектором, ее мы будем обозначать через v ∈R s , т.е.
                                             � u1 �          � v1 �
                                              �           �   �       �
                                       u =� ... � , v =� ... � .
                                                � u �           � v �
                                                 � n −s �        � s�
Так как векторы g iu (u * , v* ), i =1,..., s предполагаются линейно независимыми,
то переменные v можно выбрать так, чтобы в окрестности точки (u * , v * )
выполнялись условия теоремы о неявных функциях, и система уравнений
g i (u , v) =0, i =1,..., s определяет неявные функции v i ( u ), i =1,..., s в
окрестности точки ( u * , v* ). Задачу (6)-(7) можно записать в виде
                                                   I(u, v) → inf,               (12)
                           g i ( u , v) =0, i =1,..., s, u ∈R n −s , v ∈R s .                                                                                               (13)
 Пусть функции I, g i , i =1,..., s дважды непрерывно дифференцируемы.
 Введем обозначения
                     �     ∂2L                                 ∂2L �                                       � ∂2L                                     ∂2L �
                     �                         ...                               �                          �                                   ...            �
                           ∂u12
                            �                       ∂u n −s ∂u1 �                                             � ∂v1
                                                                                                                              2
                                                                                                                                                    ∂v s ∂v1 �
         L uu =�            ...                ...              ...                � , L vv =�                             ...                  ...   ... � ,
                           ∂2L�                                ∂ L
                                                                 2                  �                          �          ∂2L                        ∂2L �
                                �              ...                                    �                          �                              ...              �
                                  �
                         ∂u1∂u n −s                           ∂u n2 −s ��                                          � ∂v1∂v s                         ∂v s2 ��
                                    �                                                                               �
                �                     ∂2L                      ∂2L �                             � ∂2L                                                  ∂2L �
                  �                            ...                       �                        �                                             ...                  �
                    � ∂v1∂u1                                 ∂v s ∂u1 �                             � ∂u1∂v1                                        ∂u n −s ∂v1 �
         L uv =�                       ...     ...              ...        �            , L vu =�                          ...                  ...      ...           �,
                     �                ∂2L                      ∂ L
                                                                 2           �                       � ∂2L                                              ∂ L �
                                                                                                                                                          2
                       �                       ...                             �                      �                                         ...                    �
                         � ∂v1∂u n −s               ∂v s ∂u n −s ��                                     � ∂u1∂v s                                   ∂u n −s ∂v s ��
                          �                                                                              �
                                                     � ∂g1                                   ∂g1 �                              �             ∂g1           ∂g1 �
                  � g1 ( u , v ) �                    �                ...                                            �           �                 ...            �
                   �               �                    � ∂u1                              ∂u n −s �                                �         ∂v1          ∂v s �
       g (u, v) =�        ... �              , g u =� ... ...                                 ... � , g v =�                                   ... ... ... � .
                     � g (u , v) �                       � ∂g s                              ∂g s �                                   �       ∂g s         ∂g s �
                      � s            �                    � ∂u         ...                                              �               �           ...
                                                           �       1                       ∂u n −s �                                      �   ∂v1          ∂v s ��

   Теорема. Пусть выполняются условия:

 1. ( u * , v * , λ*0 , λ* ) – стационарная точка функции Лагранжа.
 2. Функции I, g i , i =1,..., s дважды непрерывно дифференцируемы в
 некоторой окрестности точки ( u * , v* );
 3. В точке ( u * , v * ) матрица g v (u * , v * ) имеет обратную.