Методы оптимизации. Часть 2. Белоусова Е.П - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
),h,x(h,h)u(A
2
1
h),u(I)u(I)hu(I
00000
ω+〉〈+〉
′
〈=−+ (3)
где квадратные скобки обозначают скалярное произведение векторов, )u(A
0
-
симметричная матрица порядка n, )h,u(
0
ω
удовлетворяет условию
0
h
)h,u(
lim
0
0h
=
ω
→
,
то функция
)
u
(
I
является дважды дифференцируемой в точке
0
u . Обозначим
вторую производную через )u(I
0
′
′
. Если производная существует , то элементы
ее выписываются следующим образом
.
u
)u(I
uu
)u(I
uu
)u(I
.........
uu
)u(I
...
uu
)u(I
u
)u(I
)u(I
2
n
0
2
2n
0
2
1n
0
2
n1
0
2
21
0
2
2
1
0
2
0
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=
′′
Теорема: если точка
n
*
Ru ∈ является стационарной точкой функции
)
u
(
I
и в этой точке существует вторая производная )u(I
*
′
′
, то для того чтобы
*
u
была точкой локального минимума функции
)
u
(
I
должно выполняться
неравенство
.0)u(I
*
≥
′
′
(4)
Если же
)u(I
*
′
′
является положительно определенной матрицей, т .е.
,0)u(I
*
>
′
′
(5)
то
*
u - точка локального минимума функции
).
u
(
I
Критерий Сильвестра : для того , чтобы симметричная матрица )u(I
*
′
′
была положительно определенной необходимо и достаточно , чтобы все ее
главные миноры были положительны.
Если точка
*
u - точка минимума функции
)
u
(
I
и существует
)(
*
uI
, то
выполняются условия
необходимость:
,0)u(I,0)u(I
**
≥
′
′
=
′
достаточность: если в некоторой точке
*
u выполнены условия:
0)u(I,0)u(I
**
>
′
′
=
, то
*
u
- точка минимума функции
)
u
(
I
.
Пример 1. Минимизировать функцию
infuu2uuuu)u(I
21
2
221
2
1
→+−+−=
.
Посчитаем первые производные по каждой переменной и приравняем их к
нулю
01u2u
u
I
,02uu2
u
I
21
2
21
1
=++−=
∂
∂
=−−=
∂
∂
. 
                                                5

                                                       1
          I(u 0+ h−        ) � I′(u 0 ),+
                  ) I( u 0 =            h�             � A(u 0 ) h, h� +ω( x 0 , h ),          (3)
                                                       2
где квадратные скобки обозначают скалярное произведение векторов, A( u 0 ) -
симметричная матрица порядка n, ω(u 0 , h ) удовлетворяет условию
                                                    ω( u 0 , h )
                                             lim                   =0 ,
                                             h →0        h
то функция I(u ) является дважды дифференцируемой в точке u 0 . Обозначим
вторую производную через I′′(u 0 ) . Если производная существует, то элементы
ее выписываются следующим образом
                                   � ∂ 2 I ( u 0 ) ∂ 2 I( u 0 )         ∂ 2 I( u 0 ) �
                                    �                               ...                �
                                      � ∂u12              ∂u1∂u 2       ∂u1∂u n �
                       I′′(u 0 ) =�            ...            ...            ... � .
                                       � ∂ 2 I( u ) ∂ 2 I( u ) ∂ 2 I( u ) �
                                        �          0              0               0
                                                                                         �
                                          � ∂u n ∂u1       ∂u n ∂u 2       ∂ u  2          �
                                           �                                    n            �
       Теорема: если точка u * ∈R является стационарной точкой функции I(u )
                                                 n

и в этой точке существует вторая производная I′′(u * ) , то для того чтобы u *
была точкой локального минимума функции I(u ) должно выполняться
неравенство
                                                   I′′(u * ) ≥0.                               (4)
Если же I′′(u * ) является положительно определенной матрицей, т.е.
                                                   I′′(u * ) >0,                               (5)
то u * - точка локального минимума функции I(u ).

        Критерий Сильвестра: для того, чтобы симметричная матрица I′′(u * )
была положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы все ее
главные миноры были положительны.
        Если точка u * - точка минимума функции I(u ) и существует I ′′(u* ) , то
выполняются условия
        необходимость: I′( u * ) =0, I′′( u * ) ≥0,
        достаточность: если в некоторой точке u * выполнены условия:
I(u * ) =0, I′′( u * ) >0 , то u * - точка минимума функции I(u ) .

     Пример 1. Минимизировать функцию
                      I(u ) =u 12 −u1u 2 +u 22 −2u 1 +u 2 → inf .
Посчитаем первые производные по каждой переменной и приравняем их к
нулю
                   ∂I                      ∂I
                      =2u1 −u 2 −2 =0,          =−u1 +2u 2 +1 =0 .
                  ∂u1                     ∂u 2

Страницы