Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 3 стр.

     § 1. Введение

     Основная цель вариационного исчисления – получить общие методы
отыскания экстремумов для задач, содержащих функции с бесконечным
числом степеней свободы. Поэтому нам понадобятся сведения из теории
функций нескольких переменных.
     Пример перехода от конечного числа степеней свободы к бесконеч-
ному числу.
     Рассмотрим натянутую между двумя неподвижными точками цепочку из
материальных частиц, последовательно связанных друг с другом одинаковыми
пружинками. Пусть на частицы действуют малые поперечные силы, вызы-
вающие отклонение цепочки от ненагруженного состояния равновесия.




                                   Рис. 1

           Причем для простоты будем считать, что перемещения частиц перпен-
дикулярны линии ненагруженного состояния, т. е. оси X . Найдем нагру-
женное состояние равновесия, которое характеризуется отклонениями
y1 , y 2 , ..., y n −1 частиц от оси X .
           Для этого определим потенциальную энергию U цепочки в любом от-
клоненном состоянии, отсчитывая U от ненагруженного, но уже натянутого
состояния цепочки. Эта энергия складывается из двух частей

                                U = U упр + U внеш ,                    (1)


                                      3