Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
первая представляет собой работу, затраченную на преодоление упругости
пружинок, а вторая – на преодоление внешних сил. Первая пропорциональ-
на удлинению
lΔ цепочки
lP
Δ
=
упр
U , (2)
где
P
– сила натяжения цепочки; мы будем считать, что эта сила при откло-
нениях остается постоянной. Удлинение пружинки, соединяющей частицы
i
M и
1+i
M , равно
=−
Δ
+=−
Δ
+=−Δ+=Δ )
)(
()
)(
()( 111
2
2
2
2
22
h
y
hh
h
y
hhyhl
ii
ii
=
h
yy
h
y
h
iii
22
1
2
1
2
2
)()( −
=
Δ
⋅
+
.
В силу формулы (2)
2
1
2
1
22
)(
)(
∑∑
−=
−
=
+
+
i
ii
i
ii
упр
yy
h
P
h
yy
PU .
Еще проще находится
i
i
ii
i
iвнеш
yFFyU
∑
∑
−
=
−
=
)( .
Таким образом, в силу (1) получаем
i
i
ii
i
i
yFyy
h
P
U
∑∑
−−=
+
2
1
2
)(
. (3)
В положении равновесия потенциальная энергия должна иметь «ста-
ционарное» значение, т. е. бесконечно малые изменения координат должны
приводить к изменениям высшего порядка малости в потенциальной энер-
гии. Другими словами, производные от потенциальной энергии по коорди-
натам в положении равновесия должны равняться нулю. В самом деле, легко
проверить, что производная
i
y
U
∂
∂
равна, с противоположным знаком, общей
силе, действующей на
i
-ю частицу. Так как в правую часть (3) координата
i
y
входит в три члена 
первая представляет собой работу, затраченную на преодоление упругости
пружинок, а вторая – на преодоление внешних сил. Первая пропорциональ-
на удлинению Δl цепочки

                                        U упр = PΔl ,                                                   (2)

где P – сила натяжения цепочки; мы будем считать, что эта сила при откло-
нениях остается постоянной. Удлинение пружинки, соединяющей частицы
M i и M i +1 , равно

                     2        2
                                                      ( Δyi ) 2                     ( Δyi ) 2
             Δli = h + ( Δyi ) − h = h( 1 +                        ) − h = h( 1 +               −1) =
                                                            h2                        h2


                                            2
                                  1 ( Δyi )     ( y i +1 − y i ) 2
                             = h⋅             =                    .
                                  2 h2                  2h

     В силу формулы (2)

                                       ( y i +1 − y i ) 2        P
                     U упр = P ∑
                                              2h
                                                            =       ∑ ( y − yi ) 2 .
                                                                 2 h i i +1
                                  i


     Еще проще находится

                             U внеш = ∑ yi ( − Fi ) = −∑ Fi yi .
                                              i                      i


     Таким образом, в силу (1) получаем

                                      P
                            U=           ∑ ( y − yi ) 2 − ∑ Fi yi .
                                      2 h i i +1
                                                                                                        (3)
                                                          i
      В положении равновесия потенциальная энергия должна иметь «ста-
ционарное» значение, т. е. бесконечно малые изменения координат должны
приводить к изменениям высшего порядка малости в потенциальной энер-
гии. Другими словами, производные от потенциальной энергии по коорди-
натам в положении равновесия должны равняться нулю. В самом деле, легко
                              ∂U
проверить, что производная        равна, с противоположным знаком, общей
                              ∂yi
силе, действующей на i -ю частицу. Так как в правую часть (3) координата
yi входит в три члена


                                                  4

Страницы