Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
Перенеся в первом равенстве
1
y из левой части в правую, а за тем проведя
ту же процедуру сложения, получим, применяя легко проверяемое равенство
2
1
21
)(
...
+
=+++
kk
k ,
12
2y
P
hF
y +−= ,
13
3
2
32
y
P
hF
y +
⋅
−= ,
14
4
2
43
y
P
hF
y +
⋅
−=
,
В общем виде
ii
iy
P
hFii
y +
−
−=
2
1)(
. (5)
Так как
n
y должно получиться равным нулю, то
,
)(
0
2
1
1
=+
−
− ny
P
hFnn
откуда .
)(
P
hFn
y
2
1
1
−
=
Подставляя в (5) находим окончательно
i
(i 1)i hF (n 1)hF i(n i)hF
yi .
2 P 2P 2P
−−−
=− + = (6)
).,...,,( 121
−
=
ni
Эта формула верна при
0
=
i
, и при .ni
=
Рассмотренная система определяется отклонениями
1−n ее частиц,
т. е. имеет
1−n
степеней свободы. Увеличивая
n
при заданной длине
l
це-
почки, мы одновременно бесконечно увеличиваем число степеней свободы,
и в пределе получаем из цепочки непрерывную струну, которая представля-
ет собой систему с бесконечным числом степеней свободы. Итак, из дис-
кретной, точечной системы частиц мы получаем в пределе сплошную среду
с непрерывно распределенной массой.
Выясним, как преобразуется в пределе выражение
для потенциальной
энергии и условие статического равновесия. Будем считать, что внешняя по-
перечная сила распределена по струне с некоторой плотностью
)(xf
, так что 
      Перенеся в первом равенстве y1 из левой части в правую, а за тем проведя
ту же процедуру сложения, получим, применяя легко проверяемое равенство

                                                        k ( k + 1)
                                    1 + 2 + ... + k =              ,
                                                             2

                                                   hF
                                        y2 = −        + 2 y1 ,
                                                    P

                                               2 ⋅ 3 hF
                                     y3 = −             + 3 y1 ,
                                                2 P


                                              3 ⋅ 4 hF
                                     y4 = −            + 4 y1 ,
                                               2 P

     В общем виде

                                                 (i − 1)i hF
                                      yi = −                 + iyi .                   (5)
                                                    2      P
     Так как y n должно получиться равным нулю, то

                         ( n − 1)n hF                                   ( n − 1)hF
                     −                + ny1 = 0, откуда          y1 =              .
                             2      P                                       2P

     Подставляя в (5) находим окончательно

                             (i − 1)i hF (n − 1)hF i(n − i)hF
                    yi = −              +i        =           .                        (6)
                                2 P         2P         2P
                           (i = 1,2,..., n − 1).
     Эта формула верна при i = 0 , и при i = n.

       Рассмотренная система определяется отклонениями n − 1 ее частиц,
т. е. имеет n − 1 степеней свободы. Увеличивая n при заданной длине l це-
почки, мы одновременно бесконечно увеличиваем число степеней свободы,
и в пределе получаем из цепочки непрерывную струну, которая представля-
ет собой систему с бесконечным числом степеней свободы. Итак, из дис-
кретной, точечной системы частиц мы получаем в пределе сплошную среду
с непрерывно распределенной массой.
       Выясним, как преобразуется в пределе выражение для потенциальной
энергии и условие статического равновесия. Будем считать, что внешняя по-
перечная сила распределена по струне с некоторой плотностью f (x ) , так что

                                             6

Страницы