Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
,)( 0
=
+
′′
xfyP т. е.
1
y(),
P
f
x
′′
=− (10)
и нам надо найти решение
)(xy этого уравнения, удовлетворяющее условиям (8).
Итак, вариационная задача об отыскании минимума интеграла при ус-
ловиях (8) свелась к решению дифференциального уравнения (10) при тех
же условиях. Из физических соображений ясно, что какое-то положение
струны, отвечающее минимуму потенциальной энергии, имеется. Но урав-
нение (10) при условиях (8) имеет лишь единственное решение. Значит, это
решение и
доставляет интегралу (7) минимум.
§ 2. Функционал
Рассмотрим вариационную задачу, возникшую в конце XVII века и
решенную Лейбницем, Лопиталем и Ньютоном независимо друг от друга.
Рис. 2
Пусть материальная частица
M
под действием силы тяжести скатыва-
ется без трения с нулевой начальной скоростью от точки
A до точки
B
по
линии
)(L (рис. 2). Как выбрать эту линию, чтобы падение произошло в ми-
нимальное время? Обозначим неизвестное уравнение линии через
)(xyy
=
.
Тогда функция
)(xy
прежде всего должна удовлетворять условиям
,)(,)(
ba
ybyyay
=
=
(11)
где
a
y и
b
y – ординаты заданных точек
A
и .
B
Скорость движения частицы
M
в любой текущий момент легко определить, исходя из закона сохранения
энергии 
                                                          1
                     Py ′′ + f ( x ) = 0, т. е. y′′ = −     f ( x),     (10)
                                                          P

и нам надо найти решение y(x ) этого уравнения, удовлетворяющее условиям (8).
      Итак, вариационная задача об отыскании минимума интеграла при ус-
ловиях (8) свелась к решению дифференциального уравнения (10) при тех
же условиях. Из физических соображений ясно, что какое-то положение
струны, отвечающее минимуму потенциальной энергии, имеется. Но урав-
нение (10) при условиях (8) имеет лишь единственное решение. Значит, это
решение и доставляет интегралу (7) минимум.


     § 2. Функционал

     Рассмотрим вариационную задачу, возникшую в конце XVII века и
решенную Лейбницем, Лопиталем и Ньютоном независимо друг от друга.




                                       Рис. 2
      Пусть материальная частица M под действием силы тяжести скатыва-
ется без трения с нулевой начальной скоростью от точки A до точки B по
линии (L ) (рис. 2). Как выбрать эту линию, чтобы падение произошло в ми-
нимальное время? Обозначим неизвестное уравнение линии через y = y(x ) .
Тогда функция y(x ) прежде всего должна удовлетворять условиям

                                 y( a ) = y a ,    y (b ) = y b ,       (11)

где y a и yb – ординаты заданных точек A и B. Скорость движения частицы
M в любой текущий момент легко определить, исходя из закона сохранения
энергии
                                            8

Страницы