Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
)( yymg
mv
a
−=
2
2
, откуда )( yygv
a
−= 2 .
Горизонтальная составляющая скорости равна
222
1
1
2
y
yyg
dydx
dx
v
ds
dx
v
dt
ds
ds
dx
dt
dx
a
′
+
−=
+
=== )(
.
Выражая отсюда
dt и интегрируя, получим полное время падения
dx
yyg
y
T
b
a
a
∫
−
′
+
=
)(2
1
2
. (12)
Таким образом, требуется из всех функций, удовлетворяющих услови-
ям (11), выбрать такую, для которой интеграл (12) принимает наименьшее
возможное значение.
Разобранная задача является типичной задачей вариационного исчис-
ления. К таким задачам относятся задачи на экстремум (максимум или ми-
нимум), т. е. задачи, в которых требуется придать экстремальное значение
некоторому числовому параметру
. Искомой является не число или набор чи-
сел, а функция
)(xy .
Такой закон, согласно которому каждой функции из определенного
класса функций соответствует значение некоторого числового параметра,
называется функционалом. Таким образом, основная задача вариационного
исчисления – это задача о нахождении экстремума заданного функционала.
Простейшим примером функционала является определенный инте-
грал. Рассмотрим, например, формулу
∫
==
1
0
2
))(( xyydxyI . (13)
Если вместо
)(xy подставлять разные функции, то будут получаться
конкретные числовые значения
.
I
Например, выбрав
2
1
xy = , получим
20
5
1
5
1
0
1
0
5
4
1
0
22
,|)( =====
∫∫
x
dxxdxxI
,
выбрав
3
xy = , получим ,,1430
7
1
==I выбрав xy sin
=
, получим 2730,=I и т. д. 
                       mv 2
                            = mg ( y a − y ) , откуда v = 2 g ( y a − y ) .
                        2

      Горизонтальная составляющая скорости равна

                  dx dx ds    dx       dx                       1
                    =      =v    =v           = 2 g( ya − y)          .
                  dt ds dt    ds      2
                                    dx + dy 2
                                                             1 + y′ 2



      Выражая отсюда dt и интегрируя, получим полное время падения

                                    b     1 + y′2
                            T=∫                      dx .                         (12)
                                    a 2 g( ya − y)


       Таким образом, требуется из всех функций, удовлетворяющих услови-
ям (11), выбрать такую, для которой интеграл (12) принимает наименьшее
возможное значение.
       Разобранная задача является типичной задачей вариационного исчис-
ления. К таким задачам относятся задачи на экстремум (максимум или ми-
нимум), т. е. задачи, в которых требуется придать экстремальное значение
некоторому числовому параметру. Искомой является не число или набор чи-
сел, а функция y(x ) .
       Такой закон, согласно которому каждой функции из определенного
класса функций соответствует значение некоторого числового параметра,
называется функционалом. Таким образом, основная задача вариационного
исчисления – это задача о нахождении экстремума заданного функционала.
       Простейшим примером функционала является определенный инте-
грал. Рассмотрим, например, формулу

                                            1
                                        I = ∫ y 2 dx ( y = y( x )) .              (13)
                                            0


      Если вместо y(x ) подставлять разные функции, то будут получаться
конкретные числовые значения I . Например, выбрав y1 = x 2 , получим

                                1               1
                                                             x5 1 1
                           I = ∫ ( x 2 ) 2 dx = ∫ x 4 dx =      | = = 0, 2 ,
                                0               0
                                                             5 0 5


                               1
выбрав y = x 3 , получим I =     = 0,143, выбрав y = sin x , получим I = 0,273 и т. д.
                               7

                                                9

Страницы