ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
10
Формула
));((
∫
=
′
=
′
=
1
0
dx
dy
yxyydxyxI
(14)
определяет другой функционал. Формула
∫
−
==
3
1
2
))(( xyydxyI третий и т. д.
Функционал (14) – линейный. Это значит, что при сложении функций зна-
чения функционала
I
также складываются
dxyxdxyxdxyyx
∫∫∫
′
+
′
=
′
+
1
0
2
1
0
1
0
121
)( .
Функционал (13) – нелинейный (квадратичный).
§ 3. Уравнение Эйлера
Вернемся к рассмотренной задаче о равновесии упругой струны под
действием внешней силы. Эта задача свелась к нахождению экстремума
(или даже просто стационарного значения) функционала в классе функций,
удовлетворяющих граничным условиям (8). Попробуем найти решение из
условия равенства нулю приращения функционала
II
δ
≈
Δ
(где Iδ называет-
ся вариацией функционала). Для этого сначала посчитаем величину
U
δ
.
Пусть
y
получит приращение y
δ
, тогда y
′
получит приращение )( y
′
δ . Не-
трудно проверить, что
)()(
′
δ
=
′
δ yy
. В самом деле, если )()( xyxYy −=δ , то
)(])()([)()()(
′
δ
=
′
−=
′
−
′
=
′
δ yxyxYxyxYy
. Отсюда
=−
′
−δ+−
′
δ+
′
=Δ
∫∫
dxyxfy
P
dxyyxfyy
P
U
ll
])()([)])(()([
2
0
2
0
22
dxyxfy
P
yyP
l
])()([ δ−
′
δ+
′
δ
′
=
∫
2
0
2
.
Отбрасывая член второго порядка малости, получаем
∫
δ−
′
δ
′
=δ
l
dxyxfyyPU
0
])([ .
Формула 1 dy I = ∫ xy ′dx ( y = y( x ); y ′ = ) (14) 0 dx 3 определяет другой функционал. Формула I = ∫ y 2 dx ( y = y( x )) третий и т. д. −1 Функционал (14) линейный. Это значит, что при сложении функций зна- чения функционала I также складываются 1 1 1 ∫ x( y1 + y 2 )′dx = ∫ xy1′ dx + ∫ xy 2′ dx . 0 0 0 Функционал (13) нелинейный (квадратичный). § 3. Уравнение Эйлера Вернемся к рассмотренной задаче о равновесии упругой струны под действием внешней силы. Эта задача свелась к нахождению экстремума (или даже просто стационарного значения) функционала в классе функций, удовлетворяющих граничным условиям (8). Попробуем найти решение из условия равенства нулю приращения функционала ΔI ≈ δI (где δI называет- ся вариацией функционала). Для этого сначала посчитаем величину δU . Пусть y получит приращение δy , тогда y ′ получит приращение δ( y ′) . Не- трудно проверить, что δ( y ′) = (δy )′ . В самом деле, если δy = Y ( x ) − y( x ) , то δ( y ′) = Y ′( x ) − y ′( x ) = [Y ( x ) − y( x )]′ = (δy )′ . Отсюда l l P P ΔU = ∫ [ ( y ′ + δy ′) 2 − f ( x )( y + δy )]dx − ∫ [ ( y ′) 2 − f ( x ) y ]dx = 0 2 0 2 l P = ∫ [ Py ′δy ′ + (δy ′) 2 − f ( x )δy ]dx . 0 2 Отбрасывая член второго порядка малости, получаем l δU = ∫ [ Py ′δy ′ − f ( x )δy ]dx . 0 10
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »