Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
Формула
));((
∫
=
′
=
′
=
1
0
dx
dy
yxyydxyxI
(14)
определяет другой функционал. Формула
∫
−
==
3
1
2
))(( xyydxyI третий и т. д.
Функционал (14) – линейный. Это значит, что при сложении функций зна-
чения функционала
I
также складываются
dxyxdxyxdxyyx
∫∫∫
′
+
′
=
′
+
1
0
2
1
0
1
0
121
)( .
Функционал (13) – нелинейный (квадратичный).
§ 3. Уравнение Эйлера
Вернемся к рассмотренной задаче о равновесии упругой струны под
действием внешней силы. Эта задача свелась к нахождению экстремума
(или даже просто стационарного значения) функционала в классе функций,
удовлетворяющих граничным условиям (8). Попробуем найти решение из
условия равенства нулю приращения функционала
II
δ
≈
Δ
(где Iδ называет-
ся вариацией функционала). Для этого сначала посчитаем величину
U
δ
.
Пусть
y
получит приращение y
δ
, тогда y
′
получит приращение )( y
′
δ . Не-
трудно проверить, что
)()(
′
δ
=
′
δ yy
. В самом деле, если )()( xyxYy −=δ , то
)(])()([)()()(
′
=
′
−=
′
−
′
=
′
δ yxyxYxyxYy
. Отсюда
=−
′
−δ+−
′
δ+
′
=Δ
∫∫
dxyxfy
P
dxyyxfyy
P
U
ll
])()([)])(()([
2
0
2
0
22
dxyxfy
P
yyP
l
])()([ δ−
′
δ+
′
δ
′
=
∫
2
0
2
.
Отбрасывая член второго порядка малости, получаем
∫
δ−
′
δ
′
=δ
l
dxyxfyyPU
0
])([ . 
      Формула

                                       1
                                                                             dy
                                 I = ∫ xy ′dx ( y = y( x ); y ′ =               )                   (14)
                                       0
                                                                             dx

                                                                     3
определяет другой функционал. Формула I = ∫ y 2 dx ( y = y( x )) третий и т. д.
                                                                    −1
Функционал (14) – линейный. Это значит, что при сложении функций зна-
чения функционала I также складываются

                                   1                        1            1
                                   ∫ x( y1 + y 2 )′dx = ∫ xy1′ dx + ∫ xy 2′ dx .
                                   0                        0            0


      Функционал (13) – нелинейный (квадратичный).

      § 3. Уравнение Эйлера

         Вернемся к рассмотренной задаче о равновесии упругой струны под
действием внешней силы. Эта задача свелась к нахождению экстремума
(или даже просто стационарного значения) функционала в классе функций,
удовлетворяющих граничным условиям (8). Попробуем найти решение из
условия равенства нулю приращения функционала ΔI ≈ δI (где δI называет-
ся вариацией функционала). Для этого сначала посчитаем величину δU .
Пусть y получит приращение δy , тогда y ′ получит приращение δ( y ′) . Не-
трудно проверить, что δ( y ′) = (δy )′ . В самом деле, если δy = Y ( x ) − y( x ) , то
δ( y ′) = Y ′( x ) − y ′( x ) = [Y ( x ) − y( x )]′ = (δy )′ . Отсюда

                      l                                            l
                         P                                            P
                 ΔU = ∫ [ ( y ′ + δy ′) 2 − f ( x )( y + δy )]dx − ∫ [ ( y ′) 2 − f ( x ) y ]dx =
                      0
                         2                                         0
                                                                      2

                                       l
                                                       P
                                   = ∫ [ Py ′δy ′ +      (δy ′) 2 − f ( x )δy ]dx .
                                       0
                                                       2


      Отбрасывая член второго порядка малости, получаем

                                                  l
                                           δU = ∫ [ Py ′δy ′ − f ( x )δy ]dx .
                                                  0




                                                      10

Страницы