Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 12 стр.

     Если теперь некоторая функция y(x ) , удовлетворяющая условиям (18),
реализует экстремум функционала (17) по сравнению со всеми близкими
функциями, удовлетворяющими тем же условиям, то по признаку δI = 0
должно быть

                                       b
                                        ∫ [ F y′ ( x, y , y ′)δy + F y′ ′ ( x, y , y ′)δy ′]dx = 0 .                     (19)
                                        a


     Это равенство должно выполняться для любой вариации δy , удовле-
творяющей соотношениям

                                                     δy( a ) = 0, δy(b) = 0 ,                                            (20)

которые нужны для того, чтобы y + δy удовлетворяла тем же условиям (18),
что и y . Интегрируя по частям второе слагаемое (19) и применяя соотноше-
ния (20), получим

                           b                                  b                     b
                                                                d                             d
                     0 = ∫ F y′ δydx + F y′ ′ δy |ba − ∫           ( F y′ ′ )δydx = ∫ [ F y′ − ( F y′ ′ )]δydx .
                           a                                  a
                                                                dx                  a
                                                                                              dx


      Отсюда в силу произвола в выборе δy вытекает, что последняя квад-
ратная скобка тождественно равна нулю. В самом деле, если взять δy равной
этой скобке и лишь вблизи точек a и b заставить быстро спадать до нуля, то
                                                                                        b
                                                                                                     d
последний интеграл будет приближенно равен ∫ [ F y′ − F y′ ′ ]2 dx . Но он дол-
                                           a
                                                     dx
жен равняться нулю, откуда и следует утверждение.


      Итак, мы пришли к так называемому уравнению Эйлера

                                                                    d
                                             F y′ ( x, y , y ′) −     F ′ ( x , y , y ′) = 0 .                           (21)
                                                                    dx y ′

                                                                                                d
      Отметим, что в нем при дифференцировании                                                     величина y рассмат-
                                                                                                dx
ривается как функция x . Более подробно по правилу дифференцирования
сложной функции уравнение Эйлера можно переписать в виде

          F y′ ( x, y , y ′) − Fx′′y ′ ( x, y , y ′) − F y′′y ′ ( x, y , y ′) y ′ − F y′′′y ′ ( x, y , y ′) y ′′ = 0 .   (22)


                                                                  12