Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

11
Необходимое условие 0
=
δU дает условие
∫∫
=δ−
′
δ
′
ll
ydxxfdxyyP
00
0,)( (15)
причем это равенство должно выполняться для любой вариации
yδ , удовле-
творяющей условиям
000
=
δ
=
δ )(,)( lyy
, (16)
которые нужны для того, чтобы
yy
δ
+
удовлетворяла тем же условиям (8),
что и
y
.
Для дальнейших выводов из соотношения (15) проинтегрируем пер-
вый член по частям, применяя равенства (16)
∫∫ ∫
δ+
′′
−=δ−δ
′′
−δ
′
=
=
ll l
l
x
ydxxfyPydxxfydxyPyyP
00 0
0
0 )]([)(| .
Воспользовавшись теперь произвольностью в выборе
yδ
, получим
0
=
+
′
′
)(xfyP ,
т. е. уравнение (10). Выведем теперь аналогичное дифференциальное урав-
нение для функционала более общего вида
)),((),,(
∫
=
′
=
′
=
b
a
dx
dy
yxyydxyyxFI
, (17)
где
F – заданная функция, ba, – заданные пределы интегрирования. Пусть
ищется экстремум этого функционала при заданных краевых условиях
ba
ybyyay
=
=
)(,)( . (18)
Рассуждая, как в только что разобранном примере, получим вариацию
функционала (17)
dxyyyxFyyyxFI
y
b
a
y
]),,(),,([
′
δ
′′
+δ
′′
=δ
′
∫
. 
     Необходимое условие δU = 0 дает условие

                                   l               l
                                 P ∫ y ′δy ′dx − ∫ f ( x )δydx = 0,                              (15)
                                   0               0


причем это равенство должно выполняться для любой вариации δy , удовле-
творяющей условиям

                               δy(0) = 0, δy(l ) = 0 ,                                           (16)

которые нужны для того, чтобы y + δy удовлетворяла тем же условиям (8),
что и y .
      Для дальнейших выводов из соотношения (15) проинтегрируем пер-
вый член по частям, применяя равенства (16)

                                       l               l                     l
              0 = Py ′δy |lx = 0 − P ∫ y ′′δydx − ∫ f ( x )δydx = − ∫ [ Py ′′ + f ( x )]δydx .
                                       0               0                    0


     Воспользовавшись теперь произвольностью в выборе δy , получим

                                              Py ′′ + f (x ) = 0 ,

т. е. уравнение (10). Выведем теперь аналогичное дифференциальное урав-
нение для функционала более общего вида

                           b
                                                                            dy
                       I = ∫ F ( x, y , y ′)dx ( y = y( x ), y ′ =             ),                (17)
                           a
                                                                            dx


где F – заданная функция, a, b – заданные пределы интегрирования. Пусть
ищется экстремум этого функционала при заданных краевых условиях

                                       y( a ) = y a ,      y (b ) = y b .                        (18)

     Рассуждая, как в только что разобранном примере, получим вариацию
функционала (17)

                                  b
                           δI = ∫ [ F y′ ( x, y , y ′)δy + F y′ ′ ( x , y , y ′)δy ′]dx .
                                  a



                                                  11

Страницы