Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
Здесь частные производные берутся от функции ),,( yyxF
′
уже без учета
зависимости от переменных
x
,
y
и y
′
. Видно, что (22) – дифференциальное
уравнение второго порядка, и потому его общее решение содержит две произ-
вольные постоянные, которые определяются с помощью краевых условий (18).
Вернемся теперь к задаче о линии наибыстрейшего спуска. В этом
случае надо положить
)( yyg
y
F
a
−
′
+
=
2
1
2
. (23)
Так как в правую часть не входит непосредственно
x
, то в левой части
(22) отсутствует второе слагаемое, и после умножения обеих частей (22) на
y
′
его можно переписать в виде
0
=
′
′
′
−
′
)( yFF
y
. Отсюда, интегрируя, получаем
1
cyFF
y
=
′
′
−
′
, (24)
что для конкретного примера (23) дает
1
2
2
21
2
1
cy
yygy
y
yyg
y
a
a
=
′
−
′
+
′
−
−
′
+
)(
)(
,
т. е.
1
2
21
1
c
yygy
a
=
−
′
+ )(
.
Для интегрирования этого уравнения введем параметр
t по формуле
)cos( tryy
a
−
=
− 1 , где
2
1
4
1
gc
r =
.
Тогда, преобразуя, получаем
2
1
2
1
1
1
2
t
yygc
y
a
cos
)(
−
=−=
′
+
; 
      Здесь частные производные берутся от функции F ( x, y , y ′) уже без учета
зависимости от переменных x , y и y ′ . Видно, что (22) – дифференциальное
уравнение второго порядка, и потому его общее решение содержит две произ-
вольные постоянные, которые определяются с помощью краевых условий (18).
      Вернемся теперь к задаче о линии наибыстрейшего спуска. В этом
случае надо положить

                                                  1 + y′2
                                     F=                           .                             (23)
                                             2g( ya − y)


      Так как в правую часть не входит непосредственно x , то в левой части
(22) отсутствует второе слагаемое, и после умножения обеих частей (22) на y ′
его можно переписать в виде ( F − F y′ ′ y ′)′ = 0 . Отсюда, интегрируя, получаем

                                          F − F y′ ′ y ′ = c1 ,                                 (24)

что для конкретного примера (23) дает


                           1 + y′2                           y′
                                       −                                           y ′ = c1 ,
                         2g( ya − y)             1+ y   ′2   2 g( ya − y)


т. е.
                                                  1
                                                                      = c1 .
                                     1+ y   ′2     2g ( ya − y)


        Для интегрирования этого уравнения введем параметр t по формуле

                                                                               1
                           y a − y = r (1 − cost ) , где              r=              .
                                                                           4 gc12


        Тогда, преобразуя, получаем

                              1                                         1 − cos t
                                      = c1 2 g ( y a − y ) =                      ;
                           1 + y′2                                          2




                                                 13

Страницы