Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
б)
∫
>=>=→
′
=
1
0
2
0100 qypydxyyI )(,)(min; .
2.
В последней задаче найти
p
I
∂
∂
непосредственно и по формуле, вы-
веденной в тексте.
§ 4. Простейшая задача вариационного исчисления
Рассматривается задача о нахождении минимума в пространстве не-
прерывно-дифференцируемых на отрезке
],[
10
tt функций ],([
10
1
ttC ) функ-
ционала
∫
→=
1
0
t
t
dtuutLuI inf),,()(
(25)
при условии
.)(,)( btuatu
=
=
10
(26)
Если
*
u – точка экстремума задачи (25)–(26), то она удовлетворяет
уравнению Эйлера:
.0=
∂
∂
−
∂
∂
u
L
dt
d
u
L
(27)
Решения уравнения (27) из пространства
]),([
10
1
ttC , удовлетворяющие
на концах отрезка условиям (26), называются
допустимыми экстремалями.
Определение 1: точка
*
u – слабый локальный минимум, если выпол-
няются следующие условия:
0>δ∃ такое, что для любого допустимого u справедливо:
)()(||||
**
uIuIuu ≥⇒δ<−
.
Определение 2: точка
*
u – сильный локальный минимум, если выпол-
няются следующие условия 
                        1
                б) I = ∫ yy ′ 2 dx → min; y(0) = p > 0, y(1) = q > 0 .
                        0
                                                    ∂I
        2. В последней задаче найти                    непосредственно и по формуле, вы-
                                                    ∂p
веденной в тексте.


                 § 4. Простейшая задача вариационного исчисления

     Рассматривается задача о нахождении минимума в пространстве не-
прерывно-дифференцируемых на отрезке [t 0 , t1 ] функций C 1 ([t 0 , t1 ] ) функ-
ционала

                                                    t1
                                         I (u ) =   ∫ L(t , u , u� )dt → inf              (25)
                                                    t0


при условии

                                             u (t 0 ) = a , u (t1 ) = b.                  (26)

     Если u* – точка экстремума задачи (25)–(26), то она удовлетворяет
уравнению Эйлера:

                                                ∂L d ∂L
                                                  −       = 0.                            (27)
                                                ∂u dt ∂u�

      Решения уравнения (27) из пространства C 1 ([t 0 , t1 ]) , удовлетворяющие
на концах отрезка условиям (26), называются допустимыми экстремалями.

     Определение 1: точка u* – слабый локальный минимум, если выпол-
няются следующие условия:

         ∃ δ > 0 такое, что            для      любого          допустимого    u   справедливо:
|| u − u* ||< δ ⇒ I (u ) ≥ I (u* ) .
     Определение 2: точка u* – сильный локальный минимум, если выпол-
няются следующие условия



                                                     15

Страницы