Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
Решение. Введем обозначения. Пусть
2
uL
= , тогда ,0=
∂
∂
u
L
u
u
L
2=
∂
∂
. Вы-
пишем уравнение Эйлера
0=
∂
∂
−
∂
∂
u
L
dt
d
u
L
. В нашем случае оно имеет вид
02 =− )( u
dt
d
. Решением этого уравнения является линейная функция вида
21
ctctu +=)( . Воспользуемся граничными условиями. Тогда из того, что 00
=
)(u
следует, что
0
2
=c
. А из условия 11
=
)(u вытекает, что
1
1
=
c
. В результате иско-
мая функция имеет вид () ,ut t= и искомое значение функционала на этой функ-
ции равно
1
1
0
1
0
2
1
0
====
∫∫
|)()( tdtdttuI
.
Покажем, что найденная экстремаль единственна, и она доставляет
глобальный минимум функционалу. Придадим точке
*
u некоторое прира-
щение, т. е. построим новую точку
hu
+
*
и посчитаем разность значений
функционала в этих точках. Здесь функция
)(th обладает свойствами:
1100 == )(,)( hh
. Кроме того, эта функция принадлежит пространству ]),([ 10
1
C .
Получим
∫∫∫
=−++=−+=−+
1
0
1
0
222
1
0
121 dthudttdthtuIhuI )()()()(
*
0220122
1
0
1
0
1
0
1
0
2222
≥+=+=+−=+=
∫∫∫∫
dthdthdthhhdthu
))()(()( .
Отсюда следует, что функция
]),([)(
*
10
1
Cttu ∈= – единственная экстремаль.
Пример 2.
Найти минимум функционала
∫
→=
2
1
22
inf)( dtutuI
,
при ограничениях вида
.)(,)( 1231
=
= uu 
                                                                                      ∂L      ∂L
      Решение. Введем обозначения. Пусть L = u� 2 , тогда                                = 0,     = 2u� . Вы-
                                                                                      ∂u      ∂u�
                                       ∂L d ∂L
пишем уравнение Эйлера                   −       = 0 . В нашем случае оно имеет вид
                                       ∂u dt ∂u�
   d
−      ( 2u� ) = 0 . Решением этого уравнения является линейная функция вида
   dt
u (t ) = c1t + c 2 . Воспользуемся граничными условиями. Тогда из того, что u(0) = 0
следует, что c2 = 0 . А из условия u(1) = 1 вытекает, что c1 = 1 . В результате иско-
мая функция имеет вид u (t ) = t , и искомое значение функционала на этой функ-
ции равно
                                                  1             1
                                         I (u ) = ∫ (t�) 2 dt = ∫ dt = t |10 = 1 .
                                                  0             0


     Покажем, что найденная экстремаль единственна, и она доставляет
глобальный минимум функционалу. Придадим точке u* некоторое прира-
щение, т. е. построим новую точку u* + h и посчитаем разность значений
функционала       в этих точках. Здесь функция h(t ) обладает свойствами:
h(0) = 0, h(1) = 1 . Кроме того, эта функция принадлежит пространству C 1 ([0,1]) .
Получим

                                            1                  1         1
                     I (u* + h) − I (u ) = ∫ (t� + h� ) 2 dt − ∫ t�2 dt = ∫ (1 + 2u� + h� 2 − 1)dt =
                                            0                  0          0

                 1                                         1                  1            1
               = ∫ ( 2u� + h� 2 )dt = 2( h(1) − h(0)) + ∫ h� 2 dt = 2 + ∫ h� 2 dt = 2 + ∫ h� 2 dt ≥ 0 .
                 0                                         0                  0            0


      Отсюда следует, что функция u* (t ) = t ∈ C 1 ([0,1]) – единственная экстремаль.

      Пример 2.

      Найти минимум функционала

                                                       2
                                             I (u ) = ∫ t 2 u� 2 dt → inf ,
                                                       1


при ограничениях вида u(1) = 3, u( 2) = 1.



                                                      17

Страницы