Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 18 стр.

         Решение. В этой задаче функция L имеет вид L = t 2 u� 2 . Тогда соответ-
                                                      ∂L                ∂L
ствующие производные равны                               = 0,              = 2t 2 u� . Проинтегрируем уравнение
                                                      ∂u                ∂u
                                                                         �
                                  d
                                    ( 2t 2 u� ) = 0 .           −
                                 dt
                                           c 1
     Искомое решение имеет вид u(t ) = − 1 + c 2 . Воспользуемся граничны-
                                            2 t
ми условиями и получим систему для нахождения коэффициентов c1 и c2 :
                                         ⎧ c1
                                         ⎪⎪ − + c 2 = 3                              ⎧− c1 + 2c 2 = 6
                                          ⎨ c2                              ⇒        ⎨ − c + 4c = 4 .
                                          ⎪− 1 ⋅ 1 + c = 1                           ⎩ 1        2
                                          ⎩⎪ 2 2 2

         Вычтем из первого уравнения второе и получим, что c 2 = −1, c1 = −8.
                                                                                           4
Поэтому искомая функция будет иметь вид u* (t ) = − 1. Рассмотрим новую
                                                                                           t
функцию h(t ) из пространства C 1 ([1,2]) со свойствами h(1) = 3, h( 2) = 1 и зада-
дим приращение u* + h. Вычислим разность значений функционала на этих
функциях
                                                            2                          2
                                                                2 4                     4
                                     I (u* + h ) − I (u ) = ∫ t ( − 1 + h ) dt − ∫ t 2 ( − 1)′ 2 dt =
                                                                                ′2
                                                            1
                                                                 t               1
                                                                                        t
               2                                            2                                             2
                            4                     4
             = ∫ (t 2 ( −      + h� ) 2 − t 2 ( − ) 2 )dt = ∫ ( −8h� + t 2 h� 2 )dt = −8( h( 2) − h(1)) + ∫ t 2 h� 2 dt =
               1            t2                   t2         1                                             1
                                                                        2
                                                           = 16 + ∫ t 2 h� 2 dt ≥ 0.
                                                                        1


         Следовательно, экстремальной функцией в этой задаче будет
             4
u* ( t ) =     − 1 из пространства C 1 ([1,2]).
             t

         Пример 3.

         Найти минимум функционала

                                                                    1
                                                        I (u ) = ∫ t 2 / 3u� 2 dt → inf,
                                                                    0


при условиях на концах отрезка u(0) = 0, u(1) = 1.


                                                                    18