Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 20 стр.

     Решение. В рассматриваемом примере функция L имеет вид L = u��2 .
Посчитаем ее соответствующие производные. Они будут иметь вид
∂L         ∂L         ∂L
   = 0,        = 0,        = 2u��. Составим уравнение Эйлера для этой задачи
∂u         ∂u�        ∂u��

                                                           d2
                                                                  ( 2u��) = 0.
                                                           dt 2

                                                                                     c1 3 c 2 2
       Решение этого уравнения имеет вид u(t ) =                                        t + t + c3t + c 4 . Посчи-
                                                                                     12    4
таем входящие в него произвольные постоянные. Воспользуемся граничны-
                                                                 c                        c1
ми условиями. Так как u(0) = u(1) = 0, то c4 = 0 . Тогда       + 2 + c3 = 0 . Так как
                                                             12 4
                                                               c   c
u�(0) = 0 , то c3 = 0 . Условие u�(1) = 1 определяет уравнение 1 + 2 = 1 . Составим
                                                               4    2
систему уравнений для нахождения коэффициентов c1 и c2 . Получим

                                 ⎧ c1 c 2
                                 ⎪⎪ +     =0                                     ⎧c1 + 3c 2 = 0
                                    12  4
                                  ⎨c   c
                                                                   ⇒             ⎨c + 2c = 4 .
                                  ⎪ 1 + 2 =1                                     ⎩1       2
                                  ⎪⎩ 4  2

       Функция            u (t )  и ее производные                  u� (t ), u��(t ) имеют вид
       3     2                2
u (t ) = t − t , u� (t ) = 3t − 2t , u��(t ) = 6t − 2. Зададим для функции u (t ) приращение
и посчитаем разность значений исходного функционала. Получим

                                            1                        1           1                 1
                      I (u + h) − I (u ) = ∫ (u + h )′′ 2 dt − ∫ u��2 dt = ∫ 4(3t − 1)h��dt + ∫ h��2 dt =
                                            0                        0           0                 0
                                            1         1                                        1        1
       = 4{(3 − 1)h�(1) − ( −1)h�(0)} − 3∫ h�dt + ∫ h��2 dt = 8 − 3h(1) + 3h(0) + ∫ h��2 dt = 8 + ∫ h��2 dt ≥ 0
                                            0          0                                       0        0


для        любой             функции                  h( t ) ,           удовлетворяющей                    условиям
h(0) = h(1) = 0, h�(0) = h�(1) = 1.

       Пример 2.

       Найти минимальное значение функционала
                                                       1
                                                I (u ) = ∫ (u��2 − 48u )dt → inf
                                                       0
при условии u(1) = u�(1) = 0, u(0) = 1, u�(0) = −4.
                                                            20