Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
Решение. В этом случае функция L имеет вид
232
utL
/
= . Соответ-
ствующие производные
ut
u
L
u
L
32
20
/
, =
∂
∂
=
∂
∂
. Необходимо решить уравнение
.)(
/
02
32
=− ut
dt
d
Функция решения имеет вид
.)(
/
2
31
1
ctctu += Из граничных условий со-
ставим систему уравнений для нахождения коэффициентов
1
c и
2
c . Получим
⎩
⎨
⎧
=+⋅
=+⋅
11
00
2
2
cc
cc
⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
0
1
2
1
c
c
.
Функция
31/
)( ttu = не принадлежит пространству ]),([ 10
1
C , так как ее
производная
)(tu
не принадлежит пространству непрерывных функций
]).,([ 10C Однако именно она доставляет глобальный минимум в задаче среди
всех абсолютно непрерывных функций
)(
⋅
u , удовлетворяющих краевым ус-
ловиям, для которых интеграл
)(uI конечен (показать самостоятельно).
Рассмотрим теперь задачу следующего вида:
∫
→=
1
0
t
t
n
dtuuutLuI inf),...,,,()(
)(
(28)
при условиях
.,,,...,,)(
)(
1010 =−== injatu
iji
j
(29)
Надо найти функцию
)(
*
tu . Если подынтегральная функция содержит
производные более высокого порядка, чем первый, то уравнение Эйлера
приобретает следующий вид
.)(...
)(
01
3
3
2
2
=
∂
∂
−++
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
nn
n
n
u
L
dt
d
u
L
dt
d
u
L
dt
d
u
L
dt
d
u
L
(30)
Пример 1.
Исследовать на минимум функционал
∫
→=
1
0
2
inf,)( dtuuI
при условиях .)(,)(,)()( 1100010
=
=
=
=
uuuu
      Решение. В этом случае функция L имеет вид L = t 2 / 3u� 2 . Соответ-
                                 ∂L              ∂L
ствующие производные                = 0,            = 2t 2 / 3u� . Необходимо решить уравнение
                                 ∂u              ∂u
                                                  �

                                                        d
                                                    −      ( 2t 2 / 3u� ) = 0.
                                                        dt

      Функция решения имеет вид u(t ) = c1t 1 / 3 + c2 . Из граничных условий со-
ставим систему уравнений для нахождения коэффициентов c1 и c2 . Получим

                                      ⎧c ⋅ 0 + c 2 = 0                           ⎧ c1 = 1
                                      ⎨ c ⋅1 + c = 1                    ⇒        ⎨c = 0 .
                                      ⎩          2                               ⎩ 2

        Функция u(t ) = t 1 / 3 не принадлежит пространству C 1 ([0,1]) , так как ее
производная u�(t ) не принадлежит пространству непрерывных функций
C ([0,1]). Однако именно она доставляет глобальный минимум в задаче среди
всех абсолютно непрерывных функций u(⋅) , удовлетворяющих краевым ус-
ловиям, для которых интеграл I (u ) конечен (показать самостоятельно).

      Рассмотрим теперь задачу следующего вида:

                                      t1
                                                                (n)
                           I (u ) =    ∫ L(t , u , u� ,..., u         )dt → inf             (28)
                                      t0


при условиях            u ( j ) (t i ) = aij ,    j = 0,..., n − 1, i = 0,1.                (29)

     Надо найти функцию u* (t ) . Если подынтегральная функция содержит
производные более высокого порядка, чем первый, то уравнение Эйлера
приобретает следующий вид

             ∂L d ∂L d 2 ∂L d 3 ∂L                          d n ∂L
               −      +         −           + ... + ( −1) n               = 0.              (30)
             ∂u dt ∂u� dt 2 ∂u�� dt 3 ∂�u��                 dt n ∂u ( n )

      Пример 1.

      Исследовать на минимум функционал
                                                                1
                                                  I (u ) = ∫ u��2 dt → inf,
                                                                0
при условиях u(0) = u(1) = 0, u�(0) = 0, u�(1) = 1.
                                                          19

Страницы