Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

21
Решение. В этом случае подынтегральная функция имеет вид
,uuL 48
2
−=
а ее производные соответственно .,, u
u
L
u
L
u
L
2048
=
∂
∂
=
∂
∂
−=
∂
∂
Со-
ставим уравнение Эйлера
0248
2
2
=+− )( u
dt
d
.
Решение этого уравнения запишется следующим образом:
43
2
2
3
1
4
412
ctct
c
t
c
ttu ++++=)( . Воспользуемся граничными условиями для по-
иска коэффициентов, входящих в формулу общего решения. Для этого со-
ставим следующую систему уравнений
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
=
=+++
=++++
4
1
0
24
4
0
412
1
3
4
3
21
43
21
c
c
c
cc
cc
cc
.
Отсюда легко находится, что
., 2448
21
=
−
=
cc Поэтому оптимальное
решение этой задачи имеет вид
1464
234
+−+−= tttttu )( .
Задания для самостоятельной работы
1.
∫
==→−
1
0
2
010 .)()(;)( xxextrdtxx
2.
∫
ξ==→−
0
0
0
2
00
T
Txxextrdtxx .)(,)(;)(
3.
∫
==→−
1
0
22
010 .)()(;)( xxextrdtxxt
4.
.)(,)()()(; 110100
1
0
2
====→
∫
xxxxextrdtx
       Решение. В этом случае подынтегральная функция имеет вид
                                                                    ∂L          ∂L         ∂L
L = u��2 − 48u , а ее производные соответственно                       = −48,       = 0,        = 2u��. Со-
                                                                    ∂u          ∂u�        ∂u��
ставим уравнение Эйлера
                                                    d2
                                           − 48 +          ( 2u��) = 0 .
                                                    dt 2

       Решение        этого      уравнения             запишется           следующим          образом:
              c       c
u (t ) = t 4 + 1 t 3 + 2 t 2 + c3t + c 4 . Воспользуемся граничными условиями для по-
              12       4
иска коэффициентов, входящих в формулу общего решения. Для этого со-
ставим следующую систему уравнений

                                        ⎧ c1 c 2
                                        ⎪1 + +      + c3 + c 4 = 0
                                        ⎪   12    4
                                        ⎪      c1 c 2
                                        ⎨ 4+ +         + c3 = 0 .
                                        ⎪      4    2
                                        ⎪         c4 = 1
                                        ⎪        c3 = −4
                                        ⎩

       Отсюда легко находится, что c1 = −48, c 2 = 24. Поэтому оптимальное
решение этой задачи имеет вид u(t ) = t 4 − 4t 3 + 6t 2 − 4t + 1 .

                           Задания для самостоятельной работы

          1
       1. ∫ ( x − x� 2 ) dt → extr; x(0) = x(1) = 0.
          0

          T0
       2. ∫ ( x� 2 − x ) dt → extr; x(0) = 0, x(T0 ) = ξ.
           0

          1 2
                   �2
       3. ∫ (t x − x ) dt → extr; x(0) = x(1) = 0.
           0

          1
       4. ∫ �x�2 dt → extr; x(0) = x�(0) = x�(1) = 0, x(1) = 1.
          0




                                                 21

Страницы