Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

23
Решение. Выпишем все необходимые функции и переменные:
22
01
,(1),0,1.Lu u lu t t=− = = =
Частные производные равны соответст-
венно
u
u
L
u
L
21 =
∂
∂
−=
∂
∂
, и дифференциальное уравнение имеет вид
1(2)0
d
u
dt
−− =
. Решая его, получим искомую функцию
2
12
1
.
4
utctc=− + +
Выпишем условия трансверсальности
);(
)(
;
)(
12
1
0
0
u
u
l
u
l
=
∂
∂
=
∂
∂
)(
)(;
)(
)(
10
10
u
l
t
u
L
u
l
t
u
L
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
и выпишем систему уравнений
2(0) 0; (0) 0;
2(1) 2(1) (1) (1).
uu
uu uu
==
⎧⎧
⇒
⎨⎨
=− =−
⎩⎩


Найдем произвольные постоянные
1
c
и
2
c
из системы
11
112 2
0, 0,
11 3
() .
24 4
cc
ccc c
=
=
⎧⎧
⎪⎪
⇒
⎨⎨
−+ =−−++ =
⎪⎪
⎩⎩
В задаче существует единственная допустимая экстремаль вида
.)(
4
3
4
1
2
+−= ttu Зададим приращение функции )(tu и посчитаем разность ин-
тегралов
{}
∫∫
=−−−+++−+=−+
1
0
222
1
0
2
11 )()()()()()()()( udtuuhudthuhuuIhuI
{}
1
22
0
2 2 (1) (1) (1).uh h h dt u h h=+−+ +
∫

Применяя формулу интегрирования по частям и учитывая, что
4
3
4
2
+−=
t
tu )( получим следующее
111
12 2
0
000
2| 2 2(1)(1) (1)uh uhdt h dt hdt u h h=− +−+ +
∫∫∫

. 
       Решение. Выпишем все необходимые функции и переменные:
L = u� − u, l = u 2 (1), t0 = 0, t1 = 1. Частные производные равны соответст-
       2

              ∂L       ∂L
венно            = −1,     = 2u�         и           дифференциальное                  уравнение     имеет         вид
              ∂u       ∂u�
    d                                                      1
−1 −  (2u� ) = 0 . Решая его, получим искомую функцию u = − t 2 + c1t + c2 .
   dt                                                      4
Выпишем условия трансверсальности
                                                      ∂l                   ∂l
                                                           = 0;                  = 2u(1);
                                                     ∂u(0)                ∂u (1)

                                         ∂L            ∂l                  ∂L             ∂l
                                             (t 0 ) =       ;                  (t1 ) = −
                                         ∂u�          ∂u(0)                ∂u�           ∂u(1)

и выпишем систему уравнений

                                   ⎧ 2u� (0) = 0;                           ⎧ u� (0) = 0;
                                   ⎨                                      ⇒ ⎨
                                   ⎩2u� (1) = −2u (1)                       ⎩u� (1) = −u (1).

        Найдем произвольные постоянные c1 и c2 из системы

                               ⎧           c1 = 0,                                    ⎧ c1 = 0,
                               ⎪                                                      ⎪
                               ⎨ 1                1                                 ⇒ ⎨       3
                                 −
                               ⎪⎩ 2 + c1 =  − ( −   + c1 + c2 )                       ⎪⎩ c2 =   .
                                                  4                                           4

        В задаче существует единственная допустимая экстремаль вида
          1     3
u (t ) = − t 2 + . Зададим приращение функции u (t ) и посчитаем разность ин-
          4     4
тегралов
                                         {                            }
                                     1                                                      1
                I (u + h) − I (u ) = ∫ (u� + h� ) 2 − (u + h ) dt + (u + h ) 2 (1) − ∫ (u� 2 − u )dt − u 2 (1) =
                                     0                                                      0
                                             1

                                                 {                }
                                              � � + h� 2 − h dt + 2u (1)h(1) + h 2 (1).
                                         = ∫ 2uh
                                             0



        Применяя формулу интегрирования по частям и учитывая, что
             t2 3
u (t ) = −     + получим следующее
              4 4

                                         1                 1               1
                                        �� + ∫ h� 2 dt − ∫ hdt + 2u (1)h(1) + h 2 (1) .
                             � |10 − ∫ 2uhdt
                          = 2uh
                                         0                 0               0


                                                               23

Страницы