Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

25
Решение. Составим вспомогательные функции
;);()(; u
u
L
shuluuL 2112
22
=
∂
∂
−=+=
).(
)(
;
)(
; 12
1
0
0
2 sh
u
l
u
l
u
u
L
−=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
Cоставим дифференциальное уравнение
022 =− )( u
dt
d
u
. Его решение
имеет вид
.)(
tt
ecectu
−
+=
21
Составим систему уравнений для нахождения
произвольных постоянных. Она имеет вид
.
)(
)()(
)(
21
1
2
1
1
21
1
0
1212
002
cc
shecec
cc
shu
u
=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=−
⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
−
Воспользуемся начальным условием )()( 1
2
2
11
1
sh
ee
c =
−
−
. Тогда
.
2
1
2
1
12
211
=⇒=⇒= ccc Искомая функция имеет вид ).()(
*
tcheetu
tt
=+=
−
2
1
2
1
Посчитаем приращение функционала. Оно имеет вид
∫∫
=++−+−+++=−+
1
0
1
0
222
1121112 shudtuushhudthuhuuIhuI )()())()(())()(()()(
=
()
∫
=−+++
1
0
22
11222 )()()( hshdthuhhhu
Воспользовавшись тем, что
∫∫ ∫
−−
+−−=−=
1
0
1
0
1
0
111
0
1222 heeheehdtuhudthu
tt
)()()(|
и
)();(
tttt
eeueeu
−−
+=−=
2
1
2
1
,
получим
∫∫∫
≥−++−
1
0
1
0
1
0
2
011222112 .)()()()( hshdthuhdtuhdthsh 
        Решение. Составим вспомогательные функции

                                                                                  ∂L
                               L = u� 2 + u 2 ;           l = −2u(1)sh(1);           = 2u;
                                                                                  ∂u

                                   ∂L                      ∂l               ∂l
                                       = 2u�;                   = 0;             = −2sh(1).
                                   ∂u�                    ∂u(0)            ∂u(1)

                                                                                    d
        Cоставим дифференциальное уравнение 2u −                                       ( 2u� ) = 0 . Его решение
                                                                                    dt
имеет вид u(t ) = c1e t + c2 e −t . Составим систему уравнений для нахождения
произвольных постоянных. Она имеет вид

                          ⎧ 2u� (0) = 0       ⎧⎪     c −c = 0
                          ⎨                 ⇒ ⎨ 1 1 −21              ⇒ c1 = c 2 .
                          ⎩2u� (1) = 2sh(1)    ⎪⎩c1e − c 2 e = sh(1)


                                                   e1 − e −1
        Воспользуемся              начальным                 ) = sh(1) . Тогда
                                                              условием           2c1 (
                                                       2
              1       1                                      1      1
2c1 = 1 ⇒ c1 = ⇒ c 2 = . Искомая функция имеет вид u* (t ) = e t + e − t = ch(t ).
              2       2                                      2      2
Посчитаем               приращение                    функционала.                  Оно       имеет        вид
                    1                                                        1
I (u + h) − I (u ) = ∫ ((u� + h� ) 2 + (u + h))dt − 2(u (1) + h(1))sh1 − ∫ (u� 2 + u 2 )dt + 2u (1)sh1 =
                    0                                                        0

                                       1
                                   = ∫ ( 2u�h� + h� 2 + 2uh + h 2 )dt − 2sh(1)h(1)(= )
                                       0


        Воспользовавшись тем, что

                          1                           1                             1
                                            1                1   −1           t   −t
                          ∫ 2u�h�dt = 2u�h |0 −2∫ u��hdt = (e − e )h(1) − ∫ (e + e )h и
                          0                           0                             0


                                                  1 t                  1
                                           u� =     (e − e − t ); u�� = (e t + e − t ) ,
                                                  2                    2

получим

                                                  1           1        1
                              2sh(1)h(1) − 2∫ uhdt + 2 ∫ uhdt + ∫ h 2 dt − 2 sh(1)h(1) ≥ 0.
                                                  0           0        0


                                                             25

Страницы