Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

27
§ 6. Оптимальное управление
Задача оптимального управления имеет вид
∫
→Φ+=⋅⋅
1
0
101000
t
t
txtxttdtuxtfuxI inf,))(),(,,(),,()}(),({ (31)
,,),,,(
mn
RuRxuxtfx ∈∈=
(32)
,,...,,))(),(,,( sitxtxtt
i
10
1010
=
=
Φ (33)
где
)(tu – кусочно-непрерывная функция, определенная на отрезке ],[
10
tt та-
кая, что
],[,)(
10
tttRUtu
m
∈⊂∈ (34)
].,[,)(
10
tttRtx
n
∈⊆Ω∈ (35)
Функция
)}(),({ ⋅
⋅
uxI , зависящая от двух функций, называется критерием
качества или целевой функцией. Под номером (32) записана управляемая
система дифференциальных уравнений. Соотношение (33) задает начальные
или краевые условия для системы дифференциальных уравнений (32).
Функция
)(tu , удовлетворяющая условию (34), называется допустимым
управлением для задачи (31)–(35). Условия (35) – это ограничения на фазо-
вые координаты.
Под решением задачи (31)–(35) понимают пару функций
))(),((
**
txtu ,
удовлетворяющую условию (32)–(35) и доставляющую минимальное значе-
ние функционалу (31), при условии, что такая пара существует. При этом
)(
*
tu называется оптимальным управлением, а )(
*
tx – оптимальной траекто-
рией, соответствующей этому оптимальному управлению.
Принцип максимума Понтрягина
(необходимое условие оптимальности для задачи (31)–(34)).
Определим по задаче (31)–(34) функцию, называемую функцией Га-
мильтона,
∑
=
λ=λ+λ=λλ
n
i
ii
uxtfffuxtH
0
000
),,(,),,,,(
и введем в рассмотрение еще одну функцию
∑
=
Φμ+Φμ=μ
s
i
ii
txtxtttxtxtttxtxttl
1
10101010001010
)).(),(,,())(),(,,()),(),(,,( 
      § 6. Оптимальное управление

      Задача оптимального управления имеет вид
                                     t1
                I { x(⋅), u (⋅)} =   ∫ f 0 (t , x, u )dt + Φ 0 (t 0 , t1 , x(t 0 ), x(t1 )) → inf,                          (31)
                                     t0


                                   x� = f (t , x, u ), x ∈ R n , u ∈ R m ,                                                  (32)

                               Φ i (t 0 , t1 , x(t 0 ), x(t1 )) = 0, i = 1,..., s ,                                         (33)
где u (t ) – кусочно-непрерывная функция, определенная на отрезке [t 0 , t1 ] та-
кая, что
                              u (t ) ∈ U ⊂ R m , t ∈ [t 0 , t1 ]             (34)

                                                x(t ) ∈ Ω ⊆ R n , t ∈ [t 0 , t1 ].                                          (35)
        Функция I { x(⋅), u(⋅)} , зависящая от двух функций, называется критерием
качества или целевой функцией. Под номером (32) записана управляемая
система дифференциальных уравнений. Соотношение (33) задает начальные
или краевые условия для системы дифференциальных уравнений (32).
Функция u(t ) , удовлетворяющая условию (34), называется допустимым
управлением для задачи (31)–(35). Условия (35) – это ограничения на фазо-
вые координаты.
        Под решением задачи (31)–(35) понимают пару функций (u* (t ), x* (t )) ,
удовлетворяющую условию (32)–(35) и доставляющую минимальное значе-
ние функционалу (31), при условии, что такая пара существует. При этом
u* (t ) называется оптимальным управлением, а x* (t ) – оптимальной траекто-
рией, соответствующей этому оптимальному управлению.

                                      Принцип максимума Понтрягина

               (необходимое условие оптимальности для задачи (31)–(34)).
     Определим по задаче (31)–(34) функцию, называемую функцией Га-
мильтона,
                                                                                        n
                                   H (λ 0 , λ , t , x, u ) = λ 0 f 0 + λ , f =         ∑ λ i f i (t , x , u )
                                                                                      i =0
и введем в рассмотрение еще одну функцию
                                                                                  s
      l (t 0 , t1 , x(t 0 ), x(t1 ), μ ) = μ 0 Φ 0 (t 0 , t1 , x(t 0 ), x(t1 )) + ∑ μ i Φ i (t 0 , t1 , x(t 0 ), x(t1 )).
                                                                                i =1



                                                               27

Страницы