Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
4. Найти решение задачи
∫
→−−++=
e
eueuudtuutuuI
1
22
4132 .inf)()()()()(
Решение. Посчитаем функции L и l и их частные производные. Получим
;);()()();( u
u
L
eueuuluutuL
24132
22
=
∂
∂
−−=+=
.)(
)(
);(
)(
; 4216
1
24 −−=
∂
∂
=
∂
∂
+=
∂
∂
eu
eu
l
u
u
l
uut
u
L
Составим соответствующее дифференциальное уравнение
.)( 0242 =+− uut
dt
d
u
Это уравнение второго порядка, которое путем умноже-
ния на переменную
t , можно привести к уравнению Эйлера. Решение этого
уравнения будет иметь вид
.ln)( tcctu
21
+
=
Соответственно .)(
t
c
tu
2
=
Соста-
вим систему уравнений для нахождения произвольных постоянных
⇒
⎩
⎨
⎧
+=+
=+
⇒
⎩
⎨
⎧
+=+
=+
22
13112
4224
161214
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
eueueue
uuu
eueueue
uuu
.
ln
)(
)()(
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
=
+=
⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
1
1
1
1
1
11
2
1
2
212
c
c
e
c
e
ccc
eue
uu
Отсюда искомая функция имеет вид
.ln)( 1
+
=
ttu
Задания для самостоятельной работы
1.
∫
→++⋅=
−
1
0
102
324 inf)(
)()( uuu
eedtueuI
2.
inf)()()()()( →
π
+
π
−+−=
∫
π
2
4
2
0
2
0
2222
uuudtuuuI
3.
∫
π
→π−π++−+=
0
2222
2024 inf)()()()sin()( uuudttuuuuI
        4. Найти решение задачи

                                       e
                              I (u ) = ∫ 2u� (tu� + u )dt + 3u 2 (1) − u 2 (e) − 4u (e) → inf .
                                      1


        Решение. Посчитаем функции L и l и их частные производные. Получим


                                                                                     ∂L
                             L = 2u� (tu� + u ); l = 3u 2 (1) − u 2 (e) − 4u(e);        = 2u�;
                                                                                     ∂u

                              ∂L                ∂l              ∂l
                                  = 4tu� + 2u;       = 6u (1);       = −2u(e) − 4.
                              ∂u�              ∂u(1)           ∂u(e)

        Составим              соответствующее                   дифференциальное                  уравнение
    d
2u� −  ( 4tu� + 2u ) = 0. Это уравнение второго порядка, которое путем умноже-
    dt
ния на переменную t , можно привести к уравнению Эйлера. Решение этого
                                                                        c
уравнения будет иметь вид u(t ) = c1 + c 2 lnt . Соответственно u�(t ) = 2 . Соста-
                                                                         t
вим систему уравнений для нахождения произвольных постоянных

                        ⎧ 4u� (1) + 2u(1) = 6u (1)      ⎧ 2u� (1) + u(1) = 3u(1)
                        ⎨                             ⇒ ⎨                            ⇒
                        ⎩4eu� (e) + 2u(e) = 2u(e) + 4   ⎩2eu� (e) + u(e) = u (e) + 2

                                                ⎧c 2 = c1 + c 2 ln1
                               ⎧u� (1) = u(1)   ⎪                     ⎧c = 1
                               ⎨              ⇒ ⎨      c2           ⇒ ⎨ 1     .
                               ⎩ eu� (e) = 1    ⎪    e     =1         ⎩c 2 = 1
                                                ⎩       e

        Отсюда искомая функция имеет вид u(t ) = lnt + 1.

                                Задания для самостоятельной работы

                    1
        1. I (u ) = ∫ e u ⋅ u� 2 dt + 4e u (0) + 32e − u (1) → inf
                    0
                    π
                    2                                  π         π
        2. I (u ) = ∫ (u� 2 − u 2 )dt + u 2 (0) − u 2 ( ) + 4u( ) → inf
                    0
                                                       2         2
                    π
        3. I (u ) = ∫ (u� 2 + u 2 − 4u sint )dt + 2u 2 (0) + 2u( π) − u 2 ( π) → inf
                    0

                                                           26

Страницы