Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

24
Здесь
1
() ; .
22
t
ut u=− =−

2.
Решить задачу следующего вида
∫
→−+=
1
0
222
1504 inf)()()( uudtuuI
при условиях
).()(; 1504
222
uuluL −==
Решение. Выпишем все необходимые условия для составления вспо-
могательного дифференциального уравнения.
).(
)(
);(
)(
;; 110
1
08
0
20 u
u
l
u
u
l
u
u
L
u
L
−=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
Получим
.)( 02 =− u
dt
d
Решением этого уравнения является функция
.)(
21
ctctu += Используя условия трансверсальности, составляем систему для
нахождения произвольных постоянных
1
c
и
2
c
. Так как
,
)()(
;
)()(
1100 u
l
u
L
u
l
u
L
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
то
.
)()(
)()(
)()(
)()(
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
151
040
11012
0802
uu
uu
uu
uu
Отсюда считаем произвольные постоянные
.
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
⎩
⎨
⎧
+=
=
0
0
55
4
2
1
211
21
c
c
ccc
cc
Поэтому искомая функция имеет вид
.)( 0
≡
tu
3.
Найти решение следующей задачи
∫
→−+=
1
0
22
112 inf;)()()()( shudtuuuI
.)(
2
1
11 −
−
=
ee
sh
                        t         1
       Здесь u� (t ) = − ; u�� = − .
                        2         2

       2. Решить задачу следующего вида

                                        1
                                I (u ) = ∫ u� 2 dt + 4u 2 (0) − 5u 2 (1) → inf
                                        0


при условиях L = u� 2 ; l = 4u 2 (0) − 5u 2 (1).

     Решение. Выпишем все необходимые условия для составления вспо-
могательного дифференциального уравнения.

                        ∂L      ∂L          ∂l              ∂l
                           = 0;     = 2u�;       = 8u (0);       = −10u (1).
                        ∂u      ∂u�        ∂u(0)           ∂u(1)

                      d
       Получим −         ( 2u� ) = 0. Решением этого уравнения является функция
                      dt
u (t ) = c1t + c 2 . Используя условия трансверсальности, составляем систему для
нахождения произвольных постоянных c1 и c2 . Так как

                                  ∂L     ∂l              ∂L        ∂l
                                       =      ;                =−       , то
                                ∂u� (0) ∂u(0)           ∂u�(1)    ∂u(1)

                                 ⎧ 2u� (0) = 8u(0)   ⎧u� (0) = 4u(0)
                                 ⎨                 ⇒ ⎨                 .
                                 ⎩2u� (1) = 10u(1)   ⎩ u� (1) = 5u (1)

       Отсюда считаем произвольные постоянные

                                     ⎧ c1 = 4c 2            ⎧c = 0
                                     ⎨c = 5c + 5c         ⇒ ⎨ 1     .
                                     ⎩1     1     2         ⎩c 2 = 0

       Поэтому искомая функция имеет вид u(t ) ≡ 0.

       3.    Найти решение следующей задачи

                                       1
                                I (u ) = ∫ (u� 2 + u 2 )dt − 2u(1)sh(1) → inf;
                                       0
                                                       e1 − e −1
                                             sh(1) =             .
                                                           2
                                                 24

Страницы