Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

22
§ 5. Задача Больца
Определение: задачей Больца называется экстремальная задача без
ограничений в пространстве
]),([
10
1
ttC – непрерывно дифференцируемых
функций (или
]),([
10
1
ttKC – кусочно-непрерывных дифференцируемых
функций следующего вида:
∫
→+=
1
0
10
t
t
tutuldttututLuI inf,))(),(())(),(,()(
где
RRUL →⊂
3
: , RRVl →⊂
2
: , RttCI →]),([:
10
1
,
при этом промежуток времени фиксирован и конечен, т. е.
+
∞
<
<<∞−
10
tt .
Определение: точка
*
u – точка локального минимума функции )(uI
в задаче Больца, если
,0>
δ
∃
такое что
:],([
10
1
ttCu ∈∀
).()(,||||
**
uIuIuu
≤
δ<
−
В качестве векторной нормы здесь
принимаем норму вида
|)(||)(|||||
maxmax
tutuu
tt
C
+
=
1
.
Алгоритм решения задачи
1. Составим уравнение Эйлера 0=
∂
∂
−
∂
∂
u
L
dt
d
u
L
и найдем его решения –
допустимые экстремали.
2.
Составим условия трансверсальности:
.
)(
)(;
)(
)(
1
1
0
0
tu
l
tL
tu
l
tL
uu
∂
∂
−=
∂
∂
=
3. Найти допустимые экстремали, т. е. решения уравнения Эйлера,
удовлетворяющие на концах отрезка условиям трансверсальности.
4.
Доказать, что решением является одна из допустимых экстрема-
лей, или показать, что решения нет.
Примеры
1. Найти решение следующей задачи
inf)()()( →+−=
∫
1
1
0
22
udtuuuI
. 
         § 5. Задача Больца

     Определение: задачей Больца называется экстремальная задача без
ограничений в пространстве C 1 ([t 0 , t1 ]) – непрерывно дифференцируемых
функций (или KC 1 ([t 0 , t1 ]) – кусочно-непрерывных дифференцируемых
функций следующего вида:
                                           t1
                                I (u ) =   ∫ L(t , u(t ), u�(t ))dt + l (u(t 0 ), u(t1 )) → inf, где
                                           t0

                             L : U ⊂ R 3 → R , l : V ⊂ R 2 → R , I : C 1 ([t 0 , t1 ]) → R ,


при этом промежуток времени фиксирован и конечен, т. е. − ∞ < t 0 < t1 < +∞ .

         Определение: точка u* – точка локального минимума функции I (u )
в задаче                   Больца,                если                           ∃ δ > 0,        такое   что
∀ u ∈ C 1 ([t 0 , t1 ] :    || u − u* ||< δ, I (u* ) ≤ I (u ). В качестве векторной нормы здесь
принимаем норму вида
                                           || u ||        = max | u(t ) | + max | u� (t ) | .
                                                     C1        t                 t


                                                Алгоритм решения задачи

                                                                        ∂L d ∂L
          1.     Составим уравнение Эйлера                                −       = 0 и найдем его решения –
                                                                        ∂u dt ∂u�
допустимые экстремали.
     2. Составим условия трансверсальности:
                                                              ∂l                       ∂l
                                           Lu� (t 0 ) =              ; Lu� (t1 ) = −         .
                                                            ∂u(t 0 )                 ∂u(t1 )
     3. Найти допустимые экстремали, т. е. решения уравнения Эйлера,
удовлетворяющие на концах отрезка условиям трансверсальности.

      4. Доказать, что решением является одна из допустимых экстрема-
лей, или показать, что решения нет.

                                                               Примеры

          1.     Найти решение следующей задачи
                                                           1
                                                I (u ) = ∫ (u� 2 − u )dt + u 2 (1) → inf .
                                                           0


                                                                   22

Страницы