Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
Теорема: пусть функции siff
i
,...,,,, 0
0
=
Φ
являются непрерывно-
дифференцируемыми функциями своих аргументов. Пусть
)(
*
tu – опти-
мальное управление,
)(
*
tx – оптимальная траектория для задачи (31)–(34)
или (31)–(35). Тогда существует такой набор множителей
*****
,...,),(),...,(,
sn
tt μμλλλ
110
, что
0
10
≠λ++λ+λ |)(|...|)(|||
***
tt
n
для ],[
10
ttt
∈
, причем
*
0
0,
λ
≥ (36)
и при этом выполняются условия:
1. функция
)(
*
tλ является решением системы дифференциальных
уравнений
**
*
0**
( , (),, (), ())
() ;
Httxtut
t
x
λλ
λ
∂
=−
∂
(37)
2.
выполняется условие трансверсальности
*
*1
01 *0 *1
(,, (), (), )
() (1) , 0,1;
()
i
i
i
lt t x t x t
ti
xt
μ
λ
+
∂
=− =
∂
(38)
3.
выполняется условие минимума
))(),(,),(,()),(,),(,(
**
**
*
**
min
tutxttHutxttH
Uu
λλ=λλ
∈
00
(39)
для всех
].,[
10
ttt ∈
4.
.,,
),(),(,,(
)())(),(,),(,(
*
**
**
**
101
1010
0
=
∂
μ∂
−=λλ i
t
txtxttl
tutxttH
i
i
iiii
(40)
Условие (4) выписывается, если значения
0
t и
1
t не заданы.
Задача 1.
Задано движение безинерционной тележки (на нее не действует сила
трения).
Движение описывается вторым законом Ньютона
m
F
x =
, где
F
– сила тяги двигателя тележки. 
          Теорема: пусть функции f 0 , f , Φ i , i = 0,..., s являются непрерывно-
дифференцируемыми функциями своих аргументов. Пусть u* (t ) – опти-
мальное управление, x* (t ) – оптимальная траектория для задачи (31)–(34)
или          (31)–(35).                Тогда         существует               такой набор множителей
 * *                *         *        *
λ 0 , λ1 (t ),..., λ n (t ), μ1 ,..., μ s , что
          | λ*0 | + | λ*1 (t ) | +...+ | λ*n (t ) |≠ 0 для t ∈ [t 0 , t1 ] , причем


                                                                       λ0* ≥ 0,                                                  (36)
и при этом выполняются условия:
      1. функция λ* (t ) является решением системы дифференциальных
уравнений

                                                         ∂H (λ0* , λ * (t ), t , x* (t ), u* (t ))
                                          λ�* (t ) = −                                             ;                             (37)
                                                                          ∂x

        2. выполняется условие трансверсальности

                                                          ∂l (t0 , t1 , x* (t0 ), x* (t1 ), μ * )
                                λ * (ti ) = (−1)i +1                                              , i = 0,1;                     (38)
                                                                         ∂x(ti )

        3. выполняется условие минимума

                                *     *
                 min H (λ 0 , λ            (t ), t , x* (t ), u ) = H (λ*0 , λ* (t ), t , x* (t ), u* (t ))                      (39)
                  u∈U


для всех t ∈ [t 0 , t1 ].

                                                                           ∂l (t 0 , t1 , x* (t 0 ), x* (t1 ), μ*
        4.   H (λ*0 , λ* (t i ), t i , x* (t i ), u* (t i )) = ( −1) i                                              , i = 0,1.   (40)
                                                                                             ∂t i


        Условие (4) выписывается, если значения t 0 и t1 не заданы.

        Задача 1.

     Задано движение безинерционной тележки (на нее не действует сила
трения).
     Движение описывается вторым законом Ньютона

                                          F
                                  �x� =     , где F – сила тяги двигателя тележки.
                                          m


                                                                       28

Страницы