Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
Введем обозначение u
m
F
= , тогда уравнение примет вид ux =
. Задача
управления: необходимо данную тележку перевести из заданного положения
в начало координат с нулевой скоростью за минимальное время.
Построим математическую модель. Сведем уравнение второго порядка
к системе двух уравнений первого порядка
⎩
⎨
⎧
=
=
ux
xx
2
21
и поставим граничные условия
0000
2
2
021
1
01
==== )(,)(,)(,)( TxxxTxxx . Будем
считать, что функция управления
)(tu
подчинена условию
|()| 1ut ≤
.
Критерием качества является минимальность времени перехода в ну-
левое положение, т. е.
min→=
∫
Tdt
t
0
.
Опираясь на принцип максимума Понтрягина, определяем две функции
uxH
2110
λ
+
λ
+
λ
=
,
)()())(())(( TxTxxxxxl
2413
2
022
1
011
00 μ+μ+−μ+−μ= .
Выпишем систему дифференциальных уравнений для параметров
1
λ и
2
λ
:
0
1
1
=
∂
∂
=λ
x
H
,
1
2
2
λ−=
∂
∂
−=λ
x
H
.
Выпишем условия трансверсальности:
3111
0
μ
=
λ
μ
−
=
λ
)(,)( T ,
4222
0
μ
=
λ
μ
−
=
λ
)(,)( T
.
Параметры
4321
μμμ
μ
,
,, пока неизвестны. Посчитаем функции )(t
1
λ
и
)(t
2
λ . Из предыдущей системы
11
Ct
=
λ
)( ,
212
CtCt
+
−
=
λ
)( . Функция )(t
2
λ –
линейная и поэтому меняет знак не более одного раза. Воспользуемся усло-
вием минимума 
       Введем обозначение            F   = u , тогда уравнение примет вид �x� = u . Задача
                                     m
управления: необходимо данную тележку перевести из заданного положения
в начало координат с нулевой скоростью за минимальное время.
      Построим математическую модель. Сведем уравнение второго порядка
к системе двух уравнений первого порядка

                                                       ⎧ x�1 = x 2
                                                       ⎨ x� = u
                                                       ⎩ 2
и поставим граничные условия x1 (0) = x10 , x1 (T ) = 0, x 2 (0) = x02 , x2 (T ) = 0 . Будем
считать, что функция управления u(t ) подчинена условию | u (t ) | ≤ 1 .
      Критерием качества является минимальность времени перехода в ну-
левое положение, т. е.
                                                 t
                                                 ∫ dt = T → min .
                                                 0


       Опираясь на принцип максимума Понтрягина, определяем две функции

                                             H = λ 0 + λ1 x1 + λ 2 u ,


                     l = μ1 ( x1 (0) − x10 ) + μ 2 ( x 2 (0) − x02 ) + μ 3 x1 (T ) + μ 4 x 2 (T ) .


       Выпишем систему дифференциальных уравнений для параметров λ1 и λ 2 :

                                                            ∂H
                                                     λ� 1 =     = 0,
                                                            ∂x1
                                                        ∂H
                                               λ� 2 = −      = − λ1 .
                                                        ∂x 2
       Выпишем условия трансверсальности:

                                           λ1 (0) = −μ1 , λ1 (T ) = μ 3 ,
                                          λ 2 (0) = −μ 2 , λ 2 (T ) = μ 4 .


       Параметры μ1 , μ 2 , μ 3, μ 4 пока неизвестны. Посчитаем функции λ1 (t ) и
λ 2 (t ) . Из предыдущей системы λ1 (t ) = C1 , λ 2 (t ) = −C1t + C 2 . Функция λ 2 (t ) –
линейная и поэтому меняет знак не более одного раза. Воспользуемся усло-
вием минимума


                                                      29

Страницы