Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

30
)()()()()(min
*
**
**
||
tsigntututut
u 2221
λ−=⇒λ=λ
≤
.
Отсюда очевидно, что
1
2
−=λ−= )()(
*
*
ttu или 1
2
=λ= )()(
*
*
ttu на каких
частях промежутка
],[ T0 (или на всем промежутке 1 или –1). Смотри рис. 4.
Рассмотрим исходную систему при
1
=
u и 1
−
=
u . Пусть сначала 1
=
u ,
тогда
⎩
⎨
⎧
=
=
1
2
21
x
xx
.
Разделим первое уравнение на второе и получим
C
x
xx
dx
dx
+=⇒=
2
2
2
12
2
1
–
семейство парабол.
Если
1−=u , то
⎩
⎨
⎧
−=
=
1
2
21
x
xx
.
Тогда
C
x
xx
dx
dx
~
+−=⇒−=
2
2
2
12
2
1
.
Одна точка
переключения
o
1
–1
T
Рис. 4 
                         min |u |≤1 λ*2 (t )u = λ*2 (t )u* (t ) ⇒ u* (t ) = − signλ*2 (t ) .


        Отсюда очевидно, что u* (t ) = −λ*2 (t ) = −1 или u* (t ) = λ*2 (t ) = 1 на каких
частях промежутка [0, T ] (или на всем промежутке 1 или –1). Смотри рис. 4.




                                          1
                                                         Одна точка
                                                         переключения



                              o                                            T


                                                             –1




                                                         Рис. 4



        Рассмотрим исходную систему при u = 1 и u = −1 . Пусть сначала u = 1 ,
тогда

                                                    ⎧ x�1 = x 2
                                                    ⎨ x� = 1 .
                                                    ⎩ 2
                                                                               dx1               x 22
        Разделим первое уравнение на второе и получим                                 = x 2 ⇒ x1 =   +C –
                                                                               dx 2                2
семейство парабол.
     Если u = −1 , то
                                                    ⎧ x�1 = x 2
                                                    ⎨ x� = −1 .
                                                    ⎩ 2
                dx1                    x 22
                                         ~
        Тогда        = − x 2 ⇒ x1 = −   +C .
                dx 2                  2




                                                    30

Страницы