Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
0
>δ∃ такое, что для любого
u
из пространства ]),([
10
1
ttKC справедли-
во:
).()(||||
**
uIuIuu ≥⇒δ<−
0
Здесь ]),([
10
1
ttKC – пространство кусочно-
непрерывных дифференцируемых функций.
Для удобства будем рассматривать норму вида
|)(|max
||||
tu
t
u =
0
.
Рассмотрим несколько частных случаев уравнения Эйлера.
1.
Пусть функция f имеет вид ).,( xtff
=
Тогда частные производные
0=
∂
∂
x
f
и .
),(
0=
∂
∂
x
xtf
Уравнение Эйлера становится алгебраическим уравнени-
ем, которое либо имеет решение, удовлетворяющее условию (26), либо нет.
2.
Пусть функция f имеет вид ).,( xtff
=
Тогда, очевидно, что .0=
∂
∂
x
f
Уравнение Эйлера в этом случае приобретает вид
.
),(
0=
∂
∂
x
xtf
dt
d
Следовательно,
.
),(
const
x
xtf
=
∂
∂
Это дифференциальное уравнение пер-
вого порядка.
3.
Если ),( xxff
= , то уравнение Эйлера приобретает следующий вид
.constx
x
f
f =
∂
∂
−
Докажем это. Посчитаем производную по времени
t от левой части
предыдущего уравнения. Получим
2
() ()
()0.
t x x x tx xx xx
xxxxx
df
f
x f fx fx fx f x f x f xx
dt x
xf xf f x
∂
−=++−−− −=
∂
=−− =




Пример 1.
Исследовать на минимум функционал вида
∫
→=
1
0
2
inf)( dtuuI
,
при условии
1100 == )(,)( uu . 
       ∃ δ > 0 такое, что для любого u из пространства KC 1 ([t 0 , t1 ]) справедли-
во: || u − u* ||0 < δ ⇒ I (u ) ≥ I (u* ). Здесь KC 1 ([t 0 , t1 ]) – пространство кусочно-
непрерывных дифференцируемых функций.

      Для удобства будем рассматривать норму вида || u ||0 = max |u(t )| .
                                                                                                            t
      Рассмотрим несколько частных случаев уравнения Эйлера.

      1. Пусть функция f имеет вид f = f (t , x ). Тогда частные производные
∂f       ∂f (t , x )
    =0 и             = 0. Уравнение Эйлера становится алгебраическим уравнени-
∂x�         ∂x
ем, которое либо имеет решение, удовлетворяющее условию (26), либо нет.

                                                                                                                   ∂f
      2. Пусть функция f имеет вид f = f (t , x� ). Тогда, очевидно, что                                              = 0.
                                                                                                                   ∂x
Уравнение Эйлера в этом случае приобретает вид

                                                        d ∂f (t , x� )
                                                                       = 0.
                                                        dt ∂x�

                            ∂f (t , x� )
      Следовательно,                     = const . Это дифференциальное уравнение пер-
                               ∂x�
вого порядка.

      3. Если f = f ( x, x� ) , то уравнение Эйлера приобретает следующий вид
                                                              ∂f
                                                       f −        x� = const .
                                                              ∂x�
     Докажем это. Посчитаем производную по времени t от левой части
предыдущего уравнения. Получим

                      d       ∂f
                         ( f − x� ) = f t + f x x� + f x� ��
                                                          x − f x� ��
                                                                   x − f tx� x� − f xx� ( x� ) 2 − f xx� � xx
                                                                                                           ��� =
                      dt      ∂x�

                                            = x� ( f x − xf
                                                         � xx� − f xx� � ��
                                                                         x) = 0.
      Пример 1.

      Исследовать на минимум функционал вида
                                                          1
                                                I (u ) = ∫ u� 2 dt → inf ,
                                                          0
при условии u(0) = 0, u(1) = 1 .


                                                        16

Страницы