Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
;
)cos(
sin
cos
cos
;
cos
2
2
22
1
1
1
1
2
1
t
t
t
t
y
t
y
−
=
−
+
=
′
−
=
′
+
;)cos(
sin
cos
;
cos
sin
dttrdy
t
t
dx
t
t
dx
dy
−±=
−
±=
−
±= 1
1
1
.)sin(
2
cttrx
+
−
±
=
Это выражение вместе с предыдущим выражением для
y
дают пара-
метрические уравнения так называемой циклоиды, т. е. линии, которую опи-
сывает точка окружности радиуса
r
, которая катится снизу без скольжения
по горизонтальной прямой, проведенной через точку
A
. Таким образом, ли-
нией наибыстрейшего спуска служит циклоида с острием в точке
A . Радиус
r
при этом должен быть подобран так, чтобы первая арка циклоиды прошла
через конечную точку. На рис. 3 показано несколько таких арок, из которых
через конечную точку проходит четвертая.
Рис. 3
Задания для самостоятельного решения
1. Найдите решение задач:
а)
1100
1
0
22
==→
′
+=
∫
)(,)(min;)( yydxyyI 
                                       2          2 1 + cos t    sin 2 t
                       1 + y′2 =                ′
                                             ; y =            =              ;
                                   1 − cos t        1 − cos t (1 − cos t ) 2

                      dy      sin t            1 − cos t
                         =±           ; dx = ±           dy = ± r (1 − cos t )dt;
                      dx    1 − cos t            sin t

                                        x = ± r (t − sin t ) + c 2 .


      Это выражение вместе с предыдущим выражением для y дают пара-
метрические уравнения так называемой циклоиды, т. е. линии, которую опи-
сывает точка окружности радиуса r , которая катится снизу без скольжения
по горизонтальной прямой, проведенной через точку A . Таким образом, ли-
нией наибыстрейшего спуска служит циклоида с острием в точке A . Радиус
r при этом должен быть подобран так, чтобы первая арка циклоиды прошла
через конечную точку. На рис. 3 показано несколько таких арок, из которых
через конечную точку проходит четвертая.




                                                Рис. 3

                      Задания для самостоятельного решения

     1.    Найдите решение задач:

                  1
           а) I = ∫ ( y 2 + y ′ 2 )dx → min; y(0) = 0, y(1) = 1
                  0

                                               14

Страницы