Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
на малую длину h струны приходится сила .)( hxf
⋅
Перепишем выражение
(3) для потенциальной энергии в виде
hyf
h
yy
P
U
ii
ii
i
])([ −
−
=
+
∑
2
1
2
.
При больших значениях
n , т. е. малых h , можно заменить отношение
h
yy
ii
−
+1
на ,
i
y
′
и потенциал принимает вид
,][][ xfyy
P
hfyy
P
U
i
i
i
i
Δ−
′
=−
′
=
∑∑
22
22
так как
.xh Δ= Но это – интегральная сумма, и в пределе при 0→h она пере-
ходит в интеграл
.])()([ dxyxfy
P
U
l
−
′
=
∫
2
0
2
(7)
Таким образом, задачу об отыскании формы равновесия натянутой на-
груженной струны математически можно сформулировать так: найти функ-
цию
)(xy (описывающую форму струны), удовлетворяющую условиям за-
крепления
000
=
=
)(,)( lyy (8)
и придающую интегралу (7) минимально возможное значение. Эта задача
относится к вариационному исчислению.
Посмотрим теперь, во что в пределе перейдет условие (4) статического
равновесия, которое теперь надо переписать в виде
.0
2
2
11
=+
+
−
−+
i
iii
f
h
yyy
P (9)
Для этого напомним, что соотношение
,
2
11
2
h
yyy
iii −+
+
−
при малых значениях
h , близко к значению второй производной
y
′′
. Таким
образом, в пределе, при
0→h , из (9) мы получаем 
на малую длину h струны приходится сила f ( x ) ⋅ h. Перепишем выражение
(3) для потенциальной энергии в виде

                                        P y − yi 2
                                 U = ∑ [ ( i +1  ) − f i yi ]h .
                                     i 2       h

        При больших значениях n , т. е. малых h , можно заменить отношение
yi +1 − yi
             на yi′ , и потенциал принимает вид
    h

                                   P                     P
                            U = ∑ [ y ′ 2 − fy ]i h = ∑ [ y ′ 2 − fy ]i Δx,
                                i 2                   i 2


так как h = Δx. Но это – интегральная сумма, и в пределе при h → 0 она пере-
ходит в интеграл

                                    l
                                       P
                                U = ∫ [ ( y ′ 2 ) − f ( x ) y ]dx.            (7)
                                    0
                                       2


     Таким образом, задачу об отыскании формы равновесия натянутой на-
груженной струны математически можно сформулировать так: найти функ-
цию y( x ) (описывающую форму струны), удовлетворяющую условиям за-
крепления

                                         y(0) = 0,         y (l ) = 0 (8)
и придающую интегралу (7) минимально возможное значение. Эта задача
относится к вариационному исчислению.
     Посмотрим теперь, во что в пределе перейдет условие (4) статического
равновесия, которое теперь надо переписать в виде

                                        y − 2 yi + yi −1
                                       P i +1            + f i = 0.           (9)
                                              h2
        Для этого напомним, что соотношение

                                          yi +1 − 2 yi + yi −1
                                                               ,
                                                  h2

при малых значениях h , близко к значению второй производной y ′′ . Таким
образом, в пределе, при h → 0 , из (9) мы получаем


                                                7

Страницы