Вариационное исчисление. Белоусова Е.П. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
iiiiii
yFyyyy
h
P
−−+−
+−
])()[(
2
1
2
1
2
,
то
iiiii
i
Fyyyy
h
P
y
U
−−−−=
∂
∂
+−
)]()([
11
22
2
11
(2 ),
iiii
P
yyyF
h
+−
=
−−+−
и условие стационарности дает
),...,,()( 12102
11
−==++−
−+
niFyyy
h
P
iiii
. (4)
Получается система из
1
−
n алгебраических уравнений первой степени
с
1−n неизвестными координатами
121 −n
yyy ,...,, . Отметим, что при 1
=
i
в уравнение (4) входит
0
y , которое надо положить равным нулю (это закреп-
ленная точка), а при
1−= ni
входит
n
y , которое также надо положить рав-
ным нулю. Решив систему (4), найдем искомое положение равновесия.
Рассмотрим пример. Пусть все силы
FF
i
=
одинаковы. Перепишем
систему (4) в виде
112
y
P
hF
yy +−=− ,
P
hF
yyy −=+−
123
2 ,
P
hF
yyy −=+−
234
2 ,
Складывая первое и второе равенства, первое, второе и третье и т. д.,
получим
112
y
P
hF
yy +−=− ,
123
2 y
P
hF
yy +−=− ,
134
3 y
P
hF
yy +−=− , 
                               P
                                  [( yi − yi −1 ) 2 + ( yi +1 − yi ) 2 ] − Fi yi ,
                               2h

то

             ∂U   P                                             P
                =   [2( yi − yi −1 ) − 2( yi +1 − yi )] − Fi = − ( yi +1 − 2 yi + yi −1 ) − Fi ,
             ∂yi 2h                                             h


и условие стационарности дает

               P
                 ( y − 2 yi + yi −1 ) + Fi = 0 (i = 1,2,..., n − 1) .      (4)
               h i +1
       Получается система из n − 1 алгебраических уравнений первой степени
с n − 1 неизвестными координатами y1 , y 2 ,..., y n −1 . Отметим, что при i = 1
в уравнение (4) входит y 0 , которое надо положить равным нулю (это закреп-
ленная точка), а при i = n − 1 входит y n , которое также надо положить рав-
ным нулю. Решив систему (4), найдем искомое положение равновесия.

     Рассмотрим пример. Пусть все силы Fi = F одинаковы. Перепишем
систему (4) в виде

                                                        hF
                                           y 2 − y1 = −    + y1 ,
                                                         P

                                                             hF
                                         y3 − 2 y 2 + y1 = −    ,
                                                              P

                                                              hF
                                         y 4 − 2 y3 + y 2 = −    ,
                                                               P

     Складывая первое и второе равенства, первое, второе и третье и т. д.,
получим

                                                        hF
                                           y 2 − y1 = −    + y1 ,
                                                         P

                                                           hF
                                          y3 − y 2 = −2       + y1 ,
                                                            P

                                                         hF
                                          y 4 − y 3 = −3    + y1 ,
                                                          P


                                                  5

Страницы