Составители:
Рубрика:
4 5
,
),(
)(
),(
ï
î
ï
í
ì
=
=
=
tzz
tyy
txx
(1.1)
которые эквивалентны векторному уравнению
),()()()( tzetyetxetrr
zyx
r
r
r
r
r
+
+
=
=
(1.2)
где
zyx
eee
r
r
r
,,
– единичные орты координатных осей.
Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной
траектории (рис. 1.2). Длина участка траектории АВ, пройденного
материальной точкой за время t, называется длиной пути Ds и является
скалярной функцией времени
).
(
t
s
s
D
=
D
(1.3)
Перемещение материальной точки
за промежуток времени Dt определяет-
ся вектором
,
0
rrr
r
r
r
-
=
D
соединяющим
положение материальной точки в мо-
менты времени t и (t + D
t).
Из рис. 1.2 видно, что
.)()(
0
rtrttr
r
r
r
D
+
=
D
+
При прямолиней-
ном движении модуль перемещения ра-
вен пройденному пути Ds, т. е.
.sr
D
=
D
r
За промежуток времени Dt точка пройдет путь Ds и совершит
перемещение
r
r
D
. Отношение перемещения
r
r
D
к промежутку времени
Dt, за который оно произошло, называется средней скоростью:
.
ср
t
r
v
D
D
=
r
r
(1.4)
Направление вектора
ср
v
r
совпадает с направлением
r
r
D
. Если
перейти к пределу при
0
®
D
t
, то получим выражение для мгновенной
скорости
.
d
d
lim
0
t
r
t
r
v
t
r
r
r
=
D
D
=
®D
(1.5)
Мгновенная скорость – вектор, равный производной радиуса-
вектора по времени и направленный по касательной в сторону движения
точки (см. рис. 1.2). Проекции мгновенной скорости на оси координат
выглядят следующим образом:
.
d
d
;
d
d
;
d
d
t
z
v
t
y
v
t
x
v
zyx
===
(1.6)
При
0
®
D
t
вектор перемещения будет стремиться приближаться
к Ds и модуль мгновенной скорости будет равен первой производной от
пути по времени:
.
d
d
t
s
v =
Движение материальной точки характеризуется также ускорени-
ем, которое показывает, как изменяется скорость. Средним ускорением
неравномерного движения называется векторная величина, равная от-
ношению изменения вектора скорости к интервалу времени, за которое
оно произошло, т. е.
.
cp
t
r
a
D
D
=
r
r
(1.7):
Если перейти к пределу при
0
®
D
t
, то получим выражение для
мгновенного ускорения в данный момент времени:
.
d
d
lim
0
t
v
t
r
a
t
v
r
r
=
D
D
=
®D
(1.8)
Проекции вектора ускорения на оси координат имеют вид:
.
d
d
;
d
d
;
d
d
t
v
a
t
v
a
t
v
a
z
z
y
y
x
x
===
(1.9)
Таким образом, зная зависимость
)
(
t
r
r
, можно определить векто-
ры скорости и ускорения точки в каждый момент времени.
Пример
Уравнение движения материальной точки имеет вид
2
bt
at
S
+
=
.
Найдем скорость и ускорение точки:
.2
d
d
,2
d
d
b
t
v
abta
t
s
y ==+==
(1.10)
Если известна зависимость от времени ускорения тела и требует-
ся найти закон движения, то для получения однозначного решения не-
обходимо знать начальные условия, т.
е. скорость и радиус-вектор точ-
s
D
ср
Рис. 1.2
