Вопросы термодинамики в механике деформируемого твердого тела. Бережной Д.В - 31 стр.

                        6. Закон сохранения массы

       Всякий материальный континуум обладает свойством,
называемым массой. Суммарная масса некоторой части сплош-
ной среды, занимающей в момент времени t объем пространства
V , выражается интегралом
       m     x, t  dV ,                                      (6.1)
              V

где   x,t  – непрерывная функция координат, называемая плот-
ностью. Закон сохранения массы утверждает, что масса выделен-
ной части среды остается постоянной. Следовательно
       dm d        d              d
            dV    JdV0     J  dV0 
       dt dt V     dt V0       V0
                                  dt
           J   J  dV0     J   J  x  v  dV0     (6.2)
         V0                      V0

              x  v  J dV0        x  v dV  0.
         V0                           V0


       Поскольку это равенство верно для произвольного объема
V , подынтегральное выражение само должно обращаться в ноль,
т.е.
          x  v  0 .                                         (6.3)
       Это уравнение называется уравнением неразрывности в Эй-
леровой, или пространственной, форме. Раскрывая оператор ма-
териальной производной, уравнение неразрывности можно напи-
сать в другой равнозначной форме
       
           x    v   0 .                                    (6.4)
       t
                                           31