Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§9.1. Первообразная и неопределенный интеграл 127
Таким образом, каждый неопределенный интеграл
функции f является ее первообразной, и наоборот, каждую
первообразную можно выбрать в качестве неопределенного
интеграла функции f.
Рассмотренные свойства первообразных дают возмож-
ность описать общий вид неопределенного интеграла для f
на ha, bi:
Z
f(x) dx = F (x) + C,
где F — некоторая конкретная первообразная, а C — про-
извольная постоянная.
Будем пользоваться еще и следующими обозначениями:
Z
dg(x) B
Z
g
0
(x) dx,
Z
f(x) dg(x) B
Z
f(x)f(x) dx.
Основные свойства неопределенного интеграла на про-
межутке:
1.
◦
Z
f(x) dx
0
= f(x).
2.
◦
Z
f(x) dx = F (x) + C, где F — некоторая фиксиро-
ванная первообразная для f. Это равенство можно
переписать в виде
2.
◦◦
Z
F
0
(x) dx = F (x) + C.
3.
◦
(Линейность неопределенного интеграла)
Пусть ∃
R
f
1
(x) dx,
R
f
2
(x) dx. Тогда
∃
Z
(αf
1
(x) + βf
2
(x)) dx = α
Z
f
1
(x) dx + β
Z
f
2
(x) dx + C.
Свойство 1
◦
содержится в определении неопределенного
интеграла, свойство 2
◦
уже было установлено.
Для доказательства свойства 3
◦
проверим, что F (x) =
= α
R
f
1
(x) dx + β
R
f
2
(x) dx является первообразной для
αf
1
+ βf
2
. Это в самом деле так, поскольку
F
0
(x) =
α
Z
f
1
(x) dx
0
+
β
Z
f
2
(x) dx
0
= αf
1
(x)+βf
2
(x),
     § 9.1. Первообразная и неопределенный интеграл   127

   Таким образом, каждый неопределенный интеграл
функции f является ее первообразной, и наоборот, каждую
первообразную можно выбрать в качестве неопределенного
интеграла функции f .
   Рассмотренные свойства первообразных дают возмож-
ность описать общий вид неопределенного интеграла для f
на ha, bi:       Z
                   f (x) dx = F (x) + C,
где F — некоторая конкретная первообразная, а C — про-
извольная постоянная.
   Будем пользоваться еще и следующими обозначениями:
 Z         Z             Z               Z
    dg(x) B g 0 (x) dx,     f (x) dg(x) B f (x)f (x) dx.

   Основные свойства неопределенного интеграла на про-
межутке:
       Z          0
   1.◦     f (x) dx = f (x).
       Z
   2.◦   f (x) dx = F (x) + C, где F — некоторая фиксиро-
      ванная первообразная для f . Это равенство можно
      переписать в виде
                      Z
                   ◦◦
                  2.    F 0 (x) dx = F (x) + C.

   3.◦ (Линейность
              R    неопределенного
                          R           интеграла)
 Z     Пусть ∃ f1 (x) dx, fZ2 (x) dx. Тогда Z
∃ (αf1 (x) + βf2 (x)) dx = α f1 (x) dx + β f2 (x) dx + C.
   Свойство 1◦ содержится в определении неопределенного
интеграла, свойство 2◦ уже было установлено.
   Для
     R доказательства
                    R   свойства 3◦ проверим, что F (x) =
= α f1 (x) dx + β f2 (x) dx является первообразной для
αf1 + βf2 . Это в самом деле так, поскольку
         Z           0  Z           0
 0
F (x) = α f1 (x) dx + β f2 (x) dx = αf1 (x)+βf2 (x),

Страницы