Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§8.4. Кривизна, главная нормаль 125
Будем считать плоскую кривую Γ гладкой. Радиус-
вектор ~r кривой Γ лежит в плоскости xOy, как и векторы
~r
0
, ~r
00
, ~n.
Пусть α — угол между касательной к кривой и осью
Ox. Тогда ∆α = α(s
0
+ ∆s) − α(s
0
) имеет знак.
~
t = i cos α + j sin α,
d
~
t
ds
= (−i sin α + j cos α)
dα
ds
,
k =
d
~
t
ds
= | − i sin α + j cos α|
dα
ds
=
dα
ds
= ±
dα
ds
> 0,
k =
1
R
=
|x
0
y
0
− x
00
y
0
|
(x
02
+ y
02
)
3/2
.
Радиус-вектор центра кривизны
~ρ = (ξ, η),
ξ = x + R
2
d
2
x
ds
2
,
η = y + R
2
d
2
y
ds
2
,
ξ = x − y
0
x
02
+ y
02
x
0
y
00
− x
00
y
0
, η = y + x
0
x
02
+ y
02
x
0
y
00
− x
00
y
0
.
В случае, когда кривая Γ является графиком непре-
рывно дифференцируемой функции y = f (x), имеем
ds
2
= dx
2
+ dy
2
= dx
2
+ f
02
(x) dx
2
,
ds =
p
1 + f
02
dx,
k =
|y
00
|
(1 + y
02
)
3/2
,
ξ = x −
1 + y
02
y
00
y
0
,
η = y +
1 + y
02
y
00
.
                § 8.4. Кривизна, главная нормаль                      125

       Будем считать плоскую кривую Γ гладкой. Радиус-
вектор ~r кривой Γ лежит в плоскости xOy, как и векторы
~r0 , ~r00 , ~n.
       Пусть α — угол между касательной к кривой и осью
Ox. Тогда ∆α = α(s0 + ∆s) − α(s0 ) имеет знак.
                                     ~
         ~t = i cos α + j sin α, dt = (−i sin α + j cos α) dα ,
                                    ds                             ds
                ~
               dt                             dα            dα    dα
    k=            = | − i sin α + j cos α|          =          =±     > 0,
              ds                               ds           ds    ds
                                1     |x0 y 0 − x00 y 0 |
                          k=      = 02                     .
                               R     (x + y 02 )3/2
Радиус-вектор центра кривизны
                                                         2
                                   ξ = x + R2 d x2 ,
                                                        ds
                    ~ρ = (ξ, η),                          2
                                   η = y + R2 d y ,
                                                            2
                                                ds
                 x02 + y 02                   02
                                         0 x +y
                                                     02
     ξ = x − y 0 0 00         , η = y + x                   .
                x y − x00 y 0             x0 y 00 − x00 y 0
   В случае, когда кривая Γ является графиком непре-
рывно дифференцируемой функции y = f (x), имеем
             ds2 = dx2 + dy 2 = dx2 + f 02 (x) dx2 ,
                                p
                          ds = 1 + f 02 dx,
                                                 02
                  |y 00 |         ξ = x − 1 +00y y 0 ,
           k=                 ,              y
              (1 + y 02 )3/2      η = y + 1 +00y 02 .
                                             y

Страницы