Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

124 Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве
соприкасающейся плоскости имеет вид
(~r −~r
0
,~r
0
(t
0
),~r
00
(t
0
)) = 0,
x − x
0
y − y
0
z − z
0
x
0
(t
0
) y
0
(t
0
) z
0
(t
0
)
x
00
(t
0
) y
00
(t
0
) z
00
(t
0
)
= 0,
где ~r
0
=~r(t
0
) = (x
0
, y
0
, z
0
) = (x(t
0
), y(t
0
), z(t
0
)).
Если в данной точке кривой k = 0, то всякая плоскость,
содержащая касательную в данной точке, называется со-
прикасающейся плоскостью.
Определение. Точка пространства, лежащая на глав-
ной нормали к кривой в данной ее точке и находящаяся на
расстоянии R =
1
k
от э той точки в направлении вектора ~n,
называется центром кривизны кривой в данной ее точке.
Центр кривизны лежит в соприкасающейся плоскости.
Если ~r — радиус-вектор точки кривой, то радиус-
вектор центра кривизны
~ρ =~r + R~n =~r +
1
k
2
d
2
~r
ds
2
.
Отсюда и из (1) имеем
~ρ =~r +
1
k
2
s
0
~r
00
− s
00
~r
0
s
03
, где s
0
= |~r
0
| =
p
x
02
+ y
02
+ z
02
,
s
00
=
x
0
x
00
+ y
0
y
00
+ z
0
z
00
p
x
02
+ y
02
+ z
02
.
Определение. Кривая ~ρ = ~ρ(t), описывающая мно-
жес тво центров кривизны данной кривой Γ, называется ее
эволютой.
Сама кривая Γ по отношению к своей эволюте является
эвольвентой.
Кривая Γ вида Γ = {(x(t), y(t), 0), a 6 t 6 b} называется
плоской кривой. Ее уравнение записывают в виде
Γ = {(x(t), y(t)), a 6 t 6 b}.
124          Глава 8. Кривые в трехмерном пространстве

соприкасающейся плоскости имеет вид
                                       x − x0 y − y0 z − z0
              0      00
  (~r −~r0 ,~r (t0 ),~r (t0 )) = 0,    x0 (t0 ) y 0 (t0 ) z 0 (t0 ) = 0,
                                       x00 (t0 ) y 00 (t0 ) z 00 (t0 )
где ~r0 = ~r(t0 ) = (x0 , y0 , z0 ) = (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )).
    Если в данной точке кривой k = 0, то всякая плоскость,
содержащая касательную в данной точке, называется со-
прикасающейся плоскостью.
   Определение. Точка пространства, лежащая на глав-
ной нормали к кривой в данной ее точке и находящаяся на
расстоянии R = k1 от этой точки в направлении вектора ~n,
называется центром кривизны кривой в данной ее точке.
   Центр кривизны лежит в соприкасающейся плоскости.
   Если ~r — радиус-вектор точки кривой, то радиус-
вектор центра кривизны
                                            1 d2~r
                     ~ρ = ~r + R~n = ~r +           .
                                            k 2 ds2
Отсюда и из (1) имеем
             1 s0~r00 − s00~r0                                p
 ~ρ = ~r +     2      03
                               , где s0 = |~r0 | = x02 + y 02 + z 02 ,
             k       s
                               x0 x00 + y 0 y 00 + z 0 z 00
                       s00 = p                              .
                                   x02 + y 02 + z 02

   Определение. Кривая ~ρ = ~ρ(t), описывающая мно-
жество центров кривизны данной кривой Γ, называется ее
эволютой.
   Сама кривая Γ по отношению к своей эволюте является
эвольвентой.
   Кривая Γ вида Γ = {(x(t), y(t), 0), a 6 t 6 b} называется
плоской кривой. Ее уравнение записывают в виде
                    Γ = {(x(t), y(t)), a 6 t 6 b}.

Страницы