Лекции по математическому анализу. Часть 1. Бесов О.В. - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§8.4. Кривизна, главная нормаль 123
Вектор~n называется единичным вектором главной нор-
мали.
Определение. Нормалью к кривой в данной точке
называется всякая прямая, проходящая через эту точку и
перпе ндикулярная касательной в этой точке.
Нормаль к кривой, параллельная ~n, называется главной
нормалью.
Пусть Γ = {~r(s), 0 6 s 6 S} и в точке (s
0
, ˆr(s
0
)) суще-
ствует k =
d
2
~r
ds
2
6= 0. Тогда в силу формулы Тейлора
∆~r =~r(s
0
+ ∆s) −~r(s
0
) =
d~r(s
0
)
ds
∆s+
+
1
2
d
2
~r(s
0
)
ds
2
(∆s)
2
+~o((∆s)
2
) при ∆s → 0.
В иной записи эта формула имеет вид
∆~r = ∆s
~
t +
1
2
k(∆s)
2
~n +~o((∆s)
2
), ∆s → 0.
Эта формула показывает, что в окрестности данной
точки кривая отклоняется от своей касательной в сторону
вектора ~n с точностью до ~o((∆s)
2
).
Определение. Плоскость, проходящая через касатель-
ную и главную нормаль в данной точке кривой, называется
соприкасающейся плоскостью.
Последнюю формулу для ∆~r можно интерпретировать
и так: в окрестности данной точки кривая лежит в сопри-
касающейся плоскости с точностью до ~o((∆s)
2
).
Выведем уравнение соприкасающейся плоскости в дан-
ной точке гладкой кривой Γ = {~r(t), a 6 t 6 b}, в которой
кривизна k 6= 0. Эта плоскость проходит через точку ˆr(t
0
)
и коллинеарна векторам
~
t =
~r
0
s
0
и
d
~
t
ds
=
s
0
~r
00
− s
00
~r
0
s
03
(см. (1)),
а значит, и вектору ~r
00
(s
0
= |~r
0
| 6= 0). Поэтому уравнение
             § 8.4. Кривизна, главная нормаль               123

   Вектор ~n называется единичным вектором главной нор-
мали.
   Определение. Нормалью к кривой в данной точке
называется всякая прямая, проходящая через эту точку и
перпендикулярная касательной в этой точке.
   Нормаль к кривой, параллельная ~n, называется главной
нормалью.
   Пусть Γ = {~r(s), 0 6 s 6 S} и в точке (s0 , r̂(s0 )) суще-
            2
ствует k = d ~r2 6= 0. Тогда в силу формулы Тейлора
             ds
                               d~r(s0 )
∆~r = ~r(s0 + ∆s) −~r(s0 ) =            ∆s+
                                  ds
                      1 d2~r(s0 )
                  +               (∆s)2 +~o((∆s)2 ) при ∆s → 0.
                      2 ds2
   В иной записи эта формула имеет вид
                    1
        ∆~r = ∆s~t + k(∆s)2~n +~o((∆s)2 ),      ∆s → 0.
                    2
   Эта формула показывает, что в окрестности данной
точки кривая отклоняется от своей касательной в сторону
вектора ~n с точностью до ~o((∆s)2 ).
   Определение. Плоскость, проходящая через касатель-
ную и главную нормаль в данной точке кривой, называется
соприкасающейся плоскостью.
   Последнюю формулу для ∆~r можно интерпретировать
и так: в окрестности данной точки кривая лежит в сопри-
касающейся плоскости с точностью до ~o((∆s)2 ).
   Выведем уравнение соприкасающейся плоскости в дан-
ной точке гладкой кривой Γ = {~r(t), a 6 t 6 b}, в которой
кривизна k 6= 0. Эта плоскость проходит через точку r̂(t0 )
                              0    ~    0 00     00 0
и коллинеарна векторам ~t = ~r0 и dt = s ~r −03 s ~r (см. (1)),
                                  s    ds       s
а значит, и вектору ~r00 (s0 = |~r0 | =
                                      6 0). Поэтому уравнение

Страницы